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Aufgabe:

Überprüfe die Folge auf Beschränktheit



1) $$a_n= 2n + (-1)^n$$

2) $$a_n= \frac{1+2^n}{1+2^n+(-2)^n}$$


Ansatz:

Ich habe zuerst einmal die verschiedenen Folgenglieder berechnet

a_0= 1

a_1= 1

a_2=5

a_3=5

a_4= 9

a_5 =9


Somit ist die Folge nicht beschränkt da sie divergiert.

Aber kann man das nicht auch irgendwie formal zeigen?

Avatar von

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Zeige an<an+1

Erstens stimmt das nicht und zweitens würde es selbst dann keine Divergenz nachweisen.

$$a_n < a_{n+1}$$

$$2n+ (-1)^n < 2(n+1)+ (-1)^{n+1}$$

$$2n + (-1)^n < 2n +2 +(-1)^n +(-1)$$ rechne minus 2n

$$(-1)^n < 2 + (-1)^n*(-1)$$


und jetzt?

Betrachte bei 2) nur ungerade Werte von n. Der Nenner wird zu 1, sodass du nur den Zähler untersuchen musst.

2 Antworten

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a) an = 2^n-1 für n ist ungerade

an = 2^n+1 für n ist gerade

2n± 1 beschreibt alle ungeraden natürlichen Zahlen

Die Menge ist abzählbar unendlich und damit unbeschränkt.

0 ist in der Menge ℕ nicht enthalten.


b) Klammere 2^n aus und kürze damit.

Avatar von 39 k
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Sei \(K>0\). Dann gilt für \(n>(K+1)/2\):

\(a_n=2n+(-1)^n>2(K+1)/2+(-1)^n\geq K\), d.h.

kein \(K>0\) kann obere Schranke sein.

Avatar von 29 k

Wie kommt ein Normal-Mathe-Sterblicher darauf, ermanus?

An was muss man dabei denken? Grundwissen?

Immer wenn ich lese: Sei ... setzt es bei mir aus.

Diese "SEI-ereien" haben sich mir nie erschlossen.

Um Unbeschräktheit nach oben zu zeigen, muss

ich zeigen: \(\forall K>0\; \exists n\in \mathbb{N}:\; a_n>K\).

Dies kann man auch so ausdrücken:

\(K>0\Rightarrow \exists n\in \mathbb{N}:\; a_n>K\).

\(K>0\) ist in dieser Implikation \(\alpha\Rightarrow \beta\)

die Prämisse \(\alpha\). Mit "Sei \(\alpha\)", nimmt man die

Prämisse als gegeben an und zeigt dann damit

die Konklusion.

Danke.

Mit dieser trockenen Mathematik werde ich nie warm werden, auch wenn

sie wohl ihren Sinn haben wird.

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