Pyramide und deren Volumen

Question

Aufgabe:

Analysis

Problem/Ansatz:

Eine Pyramide mit den Punkten A(6; 0; 0); B(6; 8; 0), C(0; 4; 0) und S (3; 4;7) ist gegeben.  Die Koordinaten eines Punktes sollen so geändert werden, dass die Pyramide ein vierfaches Volumen erhält. Geben Sie mindestens 2 Möglichkeiten für eine solche Änderung an.

Zuerst muss ich also das gesamte Volumen ausrechnen. Doch wie kann ich dann fortfahren?

Answer 1

\(V = \frac{1}{3}\cdot G \cdot h\)

dass die Pyramide ein vierfaches Volumen erhält.

Laut obiger Formel genügt es, dazu die Höhe zu vervierfachen.

Eine Pyramide mit den Punkten A(6; 0; 0); B(6; 8; 0), C(0; 4; 0)

Ich vermute die Punkte sollen Ecken der Pyramide sein, auch wenn das aus der Aufgabenstellung nicht explizit hervorgeht.

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) nehme ich als Ecken der Grundfläche. In welcher besonderen Ebene liegen diese Punkte?

und S (3; 4;7)

Den Punkt nehme ich als Spitze. Was ist dann die Höhe der Pyramide?

Wohin könnte man den Punkt verschieben, so dass die Pyramide die vierfache Höhe hat?

Zuerst muss ich also das gesamte Volumen ausrechnen.

Oops, das habe ich jetzt total vergessen. Sorry.

Übrigens:

Analysis

Analysis ist das mit den Funktionen; hauptsächlich Differentialrechnung (Ableitung etc) und Integralrechnung.

Hier geht es aber um Objekte im dreidimensionlalen Raum. Die kann man zwar auch mittels Analysis untersuchen, davor bleibst du aber während deiner Schullaufbahn verschont. Stattdessen verwendet ihr in der Schule lineare Algebra (speziell Vektorrechnung) um analytische Geometrie zu betreiben.

Answer 2

Du musst das Volumen nicht berechnen.

Grundsätzlich gilt für das Volumen V einer Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h

\(V = \frac 13 G h\)

Jetzt schaust du dir die gegebenen Koordinaten an.

A,B und C liegen alle in der xy-Ebene und \(S(3,4,{\color{blue}{7}})\) hat die \(\color{blue}{Höhe\: 7}\) über der xy-Ebene.

Wir nehmen also \(\triangle ABC\) als Grundfläche und \(h= 7\) als Höhe.

Variante 1:

Wir strecken die Höhe um den Faktor 4 \( S'(3,4,{\color{blue}{28}})\)

Variante 2:

Wir spiegeln zusätzlich S' an der xy-Ebenen: \(S''(3,4,{\color{blue}{-28}})\)

Außerdem kann man noch beliebig die x- und y-Koordinaten ändern, so lange wir die Höhe vervierfacht haben.