Volumen Pyramide berechnen. Die Ergebnisse mit Vektorenformel und Grundfläche x h durch 3 stimmen nicht überein

Question

Aufgabe: vereinfacht Volumen Pyramide

ich habe eine Pyramide aus A(-1/-1/6) B(1/-1/6)C(5/3 / 5/3 / 4)D (-5/3 / 5/3 / 4) Die Grundfläche habe ich ausgerechnet. Sie ist ein Trapez mit A=80/9. Die Höhe des Trapezes habe ich ausgerechnet mit Hilfe des Abstands von Mitte BA und Mitte CD. Und das ist 10/3. Das Trapez ist 80/9 FE

Dann habe ich die Höhe der Pyramide gefunden, indem ich den Abstand der Ebene von ABCD und S berechnet habe. Der ist 3.somit 1/3 mal 80/9 mal 3 =80/9

Problem/Ansatz:

nun berechne ich mit der Formel V= BS x Kreuzprodukt BC x BA geteilt durch 3. 1/3 x 20=20/3. Dieses Ergebnis stimmt nicht mit 80/9 überein. Nach Antwort im Buch ist 80/9 richtig. Was mache ich falsch

Comments

Du hast den Punkt S nicht angegeben. Ausserdem:

Trapez mit A=80/9.

Damit ist ueblicherweise folgendes gemeint:

Das Trapez hat einen Flaecheninhalt von 80/9. Weil ich den Flaecheninhalt in Zukunft noch benoetige und keinen Bock habe, jedes Mal 80/9 hinzuschreiben, bezeichne ich ab jetzt den Flaecheninhalt mit dem Buchstaben A.

Problem dabei ist, dass A bereits der Punkt (-1 | -1 | 6) ist. Verwende innerhalb der selben Aufgabe nicht den selben Buchstaben um unterschiedliche Objekte zu bezeichnen.

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S(0/0/9)

B’ =(1/-1/6)   C’(5÷3/5÷3/4)   A’(-1/-1/6)

V= 1/3 (B’S • (B’C’ x B’A’) = 20/3 irgendwas mache ich falsch, denn 20/3 = 60/9 also nicht 80/9

Vielen Dank für deine Mühe

Answer 1

Punkte der Pyramide

A(-1 | -1 | 6) ; B(1 | -1 | 6) ; C(5/3 | 5/3 | 4) ; D(-5/3 | 5/3 | 4) ; S(0 | 0 | 9)

Richtungsvektoren, welche die Pyramide aufspannen

AB = [2, 0, 0]
AC = [8/3, 8/3, -2]
AD = [-2/3, 8/3, -2]
AS = [1, 1, 3]

Volumen aus der Summe zweier Dreieckspyramiden

V1 = 1/6·(AB ⨯ AC)·AS = 1/6·([2, 0, 0] ⨯ [8/3, 8/3, -2])·[1, 1, 3] = 10/3
V2 = 1/6·(AC ⨯ AD)·AS = 1/6·([8/3, 8/3, -2] ⨯ [-2/3, 8/3, -2])·[1, 1, 3] = 50/9

V = V1 + V2 = 10/3 + 50/9 = 80/9

Comments

Ja, jetzt hat es geklappt. Ich habe nicht bedacht, dass ich die beiden Dreieckspyramiden von A ausgehend ausrichten muss. Außerdem war mir nicht klar, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ ist. Da habe ich einiges gelernt! Danke

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Gerne.            

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Ich habe nicht bedacht, dass ich die beiden Dreieckspyramiden von A ausgehend ausrichten muss.

Das kann man machen, muss es aber nicht. Ich finde es aber günstig, das Trapez über die Diagonale AC in zwei Dreiecke zu zerlegen. Dann braucht man nicht nachzudenken.

Die zweite Formel von Oswald war auch richtig. Im Gegensatz zu Oswald würde ich aber die Volumen einzeln berechnen und nicht in eine Formel schreiben. Dann kann es nicht passieren, dass man durch die Antikommutativität die Volumendifferenz der beiden Dreieckspyramiden berechnet.

Aufpassen muss man auch bei konkaven Polygonen, bei denen sich nicht alle Diagonalen im Polygon befinden. Aber in der Schule ist mir so ein Fall noch nicht untergekommen.

Meistens ist es ja so, dass in der Schule auch gleich mehr Aufgaben gestellt werden. So solltest du vielleicht sogar zeigen, dass die Grundfläche ein Trapez ist. Vielleicht war sogar die Grundfläche des Trapezes auszurechnen. In dem Fall würde ich dann z.B. nicht mehr die Volumenformel von Dreieckspyramiden nehmen, sondern eben auch die Höhe der Viereckspyramide berechnen, wie dein erster Weg gewesen ist.

Das perfekte Vorgehen richtet sich also meistens auch danach, was noch alles zu berechnen ist in der Aufgabe.

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Ja, das war auch so mit dem Volumen über das Trapez. Es hat mich nur interessiert, ob es auch über die Vektorformel geht.

Das war auch gut so, denn meine Fehler haben mich weitergebracht. Ich bin schon etwas älter (74), aber die Mathe macht echt Spass. Zurzeit mache ich den LK Mathe. Bei GK klappt schon alles.

Answer 2

Das Spatprodukt \(\left(\vec a \times \vec b\right) \cdot \vec c\) gibt das orientierte Volumen des durch die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec c\) aufgespannten Parallelepipeds an. Dessen Grundflaeche ist ein Parallelogramm. Das Viereck \(ABCD\) ist kein Parallelogramm.

Comments

Ich glaube, ich habe es endlich verstanden. Wenn ich die Pyramidenformel mit Vektoren anwenden will, dann muss die Pyramide in ein Spat passen. Das ist ein verschobener Quader. Die Dreieckspyramide passt 6 mal und die rechteckige 3 mal rein. Ich kann die Formel aber nicht anwenden, wenn kein Spat entsteht. Da die Grundfläche ABCD aber kein Parallolegramm ist, klappt das nicht.

Ich habe die Formel ohne nachzudenken angewandt!

Noch einmal vielen Dank! LG Jubel

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Die Dreieckspyramide passt 6 mal

Hab ich so noch garnicht gesehen. Dann muesste

        \(\frac{1}{6}\left(\left(\vec{AB}\times \vec{AD}\right)\cdot\vec{AS} + \left(\vec{CB}\times\vec{CD}\right)\cdot\vec{CS}\right)\)

das korrekte Volumen liefern.

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Das müsste eigentlich auf dieselbe Lösung 80/9 VE kommen. Ich habs mal nachgerechnet u komme auf ca 11,25

Es kann aber gut sein, dass ich mich verrechnet habe. Aber eigentlich sollte mit den 2 Dreieckspyramiden dasselbe rauskommen.

Diese Aufgabe war ein Teil einer Aufgabe

Es ist toll,dass du dich so bemühst!

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\(\frac{1}{6}\left(\left(\vec{AB}\times \vec{AD}\right)\cdot\vec{AS} + \left(\vec{CB}\times\vec{CD}\right)\cdot\vec{CS}\right)\)

Es muss

      \(\frac{1}{6}\left(\left(\vec{AB}\times \vec{AD}\right)\cdot\vec{AS} + \left(\vec{CD}\times\vec{CB}\right)\cdot\vec{CS}\right)\)

lauten; wegen der Orientierung. Da kommt dann auch elektronisch nachgeprüft \(\frac{80}{9}\) raus.

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Gut, ob CB x CD oder CD x CB ist eigentlich egal. Also habe ich mich verrechnet u rechne es morgen früh noch einmal nach. Der Weg ist etwas kompliziert, aber nicht schlecht. Gute Nacht LG Jubel

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Es ist nicht egal. Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ. Das heißt

        \(\vec v \times \vec w = -\left(\vec w\times \vec v\right)\).