Zeigen Sie, dass für zwei Punkte S, T ∈ Rn und jeden stetig differenzierbaren Weg

Question

Aufgabe: Wir betrachten das konstante Vektorfeld F : Rⁿ → Rⁿ, P→ v für alle P ∈ Rⁿ.
Zeigen Sie, dass für zwei Punkte S, T ∈ Rⁿ und jeden stetig differenzierbaren Weg
γ : [a, b] → Rⁿ
mit γ(a) = S und γ(b) = T gilt
∫_γF = ⟨T − S, v⟩

Problem/Ansatz: Könnt ihr mir bitte helfen, wie ich diese Aufgabe lösen kann?

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Berechne einfach nach Definition das Wegontegral....

Answer 1

F ist ein Gradientenfeld, denn$$\nabla <x,v> = \nabla (x^T\cdot v) = v^T$$Damit is F wegunabhängig und es gilt
$$\int_{\gamma}F\cdot dx = \left. <x,v> \right|_{\gamma (a)}^{\gamma (b)} = <\gamma (b),v> - <\gamma (a),v> = <S-T,v>$$

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Vielen lieben Dank :)