Zeige: AEDC ist Sehnenviereck.

Question

ABC ist rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel bei C). CE senkrecht auf AB.

AEFG ist Quadrat. Unter welcher Bedingung liegt C auf FG?

Comments

Da ja die Bedingung   EHBZ ist Quadrat für ein Sehnenviereck völlig irrelevant ist, lautet die Aufgabe (von dem Spezialfall deiner Skizze inspiriert) vielleicht "Unter welcher Bedingung liegt C auf FG" ?

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Wieder ist mir eine Aufgabe gründlich misslungen.

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Du kannst ja die von mir vorgeschlagene Aufgabe nehmen.

Kontroll-Lösung : Bedingung ist  α ≈ 37,048425°

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Danke für den Tipp. Ich werde entsprechende Änderungen vornehmen. Deine Kontrolllösung ist vermutlich irrational und gerundete irrationale Zahlen mag ich gar nicht. Ich suche erst einmal nach einer korrekten Darstellung.

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Hast Recht, besonders wenn die Rundung auch noch einen Fehler enthält.

Korrekt sollte sein, dass  tan α eine Lösung der Gleichung x³+x²=1 sein muss.

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Ich weise nur mal dezent darauf hin, dass die Originalaufgabe (ohne Modifizierungsvorschläge) gelöst ist.

:-)

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Habe ich gesehen und die Aufgabe geändert.

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Unter welcher Bedingung liegt C auf FG?

wenn $G$ in einem der beiden Schnittpunkte der Parallelen (rot) zu $AB$ im Abstand von $|AZ|$ mit den Thaleskreis (grün) über $AC$ liegt.

(dies ist ein Kommentar, die ursprüngliche Frage wurde bereits von abakus beantwortet)

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Werner, danke für diese Lösung.

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... der interessantere Teil kommt ja jetzt erst. Welcher Bedingung muss das Dreieck $ABC$ erfüllen, wenn zusätzlich noch $|ZE|=|ZB|$ sein soll? (so wie in der ursprünglichen Aufgabe!)

Es gibt zwei Lösungen. Eine ist trival - mit $|CA|=|CB|$ ist das zu erfüllen. Die zweite ist schwieriger.

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um das oben schon angedeutet fortzuführen, habe ich mich etwas in das 'neue' Desmos-Geometry eingearbeitet:

diesmal ist es (noch) nicht interaktiv, man muss auf den Link kllicken.

https://www.desmos.com/geometry-beta/jdhno9xwtk

oben sieht man das rechtwinklige Dreieck $ABC$ aus der Originalaufgabe. Die Vierecke $AEFG$ und $EDBZ$ sind Quadrate. Die Frage ist nun unter welchen Bedingungen der Punkt $C$ auf der Geraden durch $FG$ liegt. (s. auch Kommentar von hj2166)

Dazu konstruiere ich - bei gegebenen Dreieck $ABC$ - das Quadrat $EDBZ$ und anschließend das Quadrat $AEFG$. Der Schnittpunkt der Geraden durch $FG$ und der Verlängerung der Höhe $h_c$ alias Gerade durch $CZ$ sei $X$. Durch horizontales Verschieben von $Z$ auf $AB$ bildet sich die Ortskurve von $X$ (rot gestrichelt).

Die beiden Schnittpunkte dieser Ortskurve mit dem Tahleskreis (grün) über $AB$ sind die Punkte bei denen $C$ auf $FG$ liegt.

Die Ortskurve von $X$ ist eine Hyperbel. Ist der Thaleskreis der Einheitskreis in einem Koordinatensystem und liegt $B$ auf der positiven X-Achse, so ist diese Hyperbel der Graph der Funktion$$f(x) = 3x-3 + \frac{4}{x+1}$$Der linke Schnittpunkt liegt dann etwa bei $x\approx 0,274$

Answer 1

Die Aufgabe ist ja billig. Laut Voraussetzungen sind sowohl der Winkel FEA als auch der Winkel DCA rechte Winkel. Damit ist die Summe gegenüberliegender Winkel im betrachteten Viereck 180°.

Comments

Die Aufgabe war misslungen und wurde geändert.