Zeige: AEDC ist Sehnenviereck.

Question

ABC ist rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel bei C). CE senkrecht auf AB.

AEFG ist Quadrat. Unter welcher Bedingung liegt C auf FG?

Comments

Da ja die Bedingung   EHBZ ist Quadrat für ein Sehnenviereck völlig irrelevant ist, lautet die Aufgabe (von dem Spezialfall deiner Skizze inspiriert) vielleicht "Unter welcher Bedingung liegt C auf FG" ?

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Wieder ist mir eine Aufgabe gründlich misslungen.

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Du kannst ja die von mir vorgeschlagene Aufgabe nehmen.

Kontroll-Lösung : Bedingung ist  α ≈ 37,048425°

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Danke für den Tipp. Ich werde entsprechende Änderungen vornehmen. Deine Kontrolllösung ist vermutlich irrational und gerundete irrationale Zahlen mag ich gar nicht. Ich suche erst einmal nach einer korrekten Darstellung.

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Hast Recht, besonders wenn die Rundung auch noch einen Fehler enthält.

Korrekt sollte sein, dass  tan α eine Lösung der Gleichung x^3+x^2=1 sein muss.

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Ich weise nur mal dezent darauf hin, dass die Originalaufgabe (ohne Modifizierungsvorschläge) gelöst ist.

:-)

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Habe ich gesehen und die Aufgabe geändert.

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Unter welcher Bedingung liegt C auf FG?

wenn \(G\) in einem der beiden Schnittpunkte der Parallelen (rot) zu \(AB\) im Abstand von \(|AZ|\) mit den Thaleskreis (grün) über \(AC\) liegt.

(dies ist ein Kommentar, die ursprüngliche Frage wurde bereits von abakus beantwortet)

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Werner, danke für diese Lösung.

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... der interessantere Teil kommt ja jetzt erst. Welcher Bedingung muss das Dreieck \(ABC\) erfüllen, wenn zusätzlich noch \(|ZE|=|ZB|\) sein soll? (so wie in der ursprünglichen Aufgabe!)

Es gibt zwei Lösungen. Eine ist trival - mit \(|CA|=|CB|\) ist das zu erfüllen. Die zweite ist schwieriger.

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um das oben schon angedeutet fortzuführen, habe ich mich etwas in das 'neue' Desmos-Geometry eingearbeitet:

diesmal ist es (noch) nicht interaktiv, man muss auf den Link kllicken.

https://www.desmos.com/geometry-beta/jdhno9xwtk

oben sieht man das rechtwinklige Dreieck \(ABC\) aus der Originalaufgabe. Die Vierecke \(AEFG\) und \(EDBZ\) sind Quadrate. Die Frage ist nun unter welchen Bedingungen der Punkt \(C\) auf der Geraden durch \(FG\) liegt. (s. auch Kommentar von hj2166)

Dazu konstruiere ich - bei gegebenen Dreieck \(ABC\) - das Quadrat \(EDBZ\) und anschließend das Quadrat \(AEFG\). Der Schnittpunkt der Geraden durch \(FG\) und der Verlängerung der Höhe \(h_c\) alias Gerade durch \(CZ\) sei \(X\). Durch horizontales Verschieben von \(Z\) auf \(AB\) bildet sich die Ortskurve von \(X\) (rot gestrichelt).

Die beiden Schnittpunkte dieser Ortskurve mit dem Tahleskreis (grün) über \(AB\) sind die Punkte bei denen \(C\) auf \(FG\) liegt.

Die Ortskurve von \(X\) ist eine Hyperbel. Ist der Thaleskreis der Einheitskreis in einem Koordinatensystem und liegt \(B\) auf der positiven X-Achse, so ist diese Hyperbel der Graph der Funktion$$f(x) = 3x-3 + \frac{4}{x+1}$$Der linke Schnittpunkt liegt dann etwa bei \(x\approx 0,274\)

Answer 1

Die Aufgabe ist ja billig. Laut Voraussetzungen sind sowohl der Winkel FEA als auch der Winkel DCA rechte Winkel. Damit ist die Summe gegenüberliegender Winkel im betrachteten Viereck 180°.

Comments

Die Aufgabe war misslungen und wurde geändert.