Handelt es sich bei folgender Differenzialgleichung um eine Bernoulli Differenzialgleichung?

Question

Aufgabe:

Handelt es sich bei folgender Differenzialgleichung um eine Bernoulli Differenzialgleichung?
(x²)y'-y² = 0 mit x > 0

Problem/Ansatz:

Die mir vorliegende Definition von Bernoulli Differenzialgleichungen lautet wie folgt:
y'+a(x)y+b(x)y^k = 0
mit k = 0 -> inhomogene lineare Dgl.
k = 1 -> homogone lineare Dgl.

Mein Ansatz für die Aufgabe war:

y' - y²/x² = 0

geteilt durch x² ist möglich, da x > 0 ist.

Leider ist mir nicht klar ob dieser Term jetzt in die Definition von Bernoulli Differenzialgleichungen passt, da dafür a(x) = 0 sein müsste.
Daher lautet meine Frage: Dürfen für diese Definition a(x) bzw. b(x) = 0 sein?
Ich habe sonst leider nichts dazu gefunden. Bitte helft mir!

Comments

Warum fragst Du? Im Zweifel gilt die Definition aus Deiner Lehrveranstaltung. Wenn es um die Lösung geht: Die Dgl ist separiert....

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Im Zweifel gilt die Definition aus Deiner Lehrveranstaltung.

Ganz sicher nicht, sonst könnte jeder schreiben, was er will, und das dann zu einem mathematischen Gesetz erheben.

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Es geht nicht um ein Gesetz sondern um eine Klassifizierung, um den Ein / Ausschluss eines trivialen Sonderfalls

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Und diese wird nicht von einem Dozenten definiert. Und auch für a(x)=0 bleibt das eine Bernoulli-Dgl., selbst wenn sie dann mit anderen Methoden einfacher zu lösen ist. Es gibt viele Dgl.en, die sich mehreren Typen zuordnen lassen.

Answer 1

Hallo,

Handelt es sich bei folgender Differenzialgleichung um eine Bernoulli Differenzialgleichung? Nein

Diese Struktur für die Bernoulli Differenzialgleichung ist hier nicht gegeben.

y'+a(x)y+b(x)yk = 0

y' -y²/x²=0 ist doch völlig anders.

Dürfen für diese Definition a(x) bzw. b(x) = 0 sein? Nein

Als Bespiel wäre die folg.DGL eine Bernoulli Differenzialgleichung

y' -y - e^(2x) *y²=0, denn diese entspricht der angegebenen Struktur.

Comments

Dürfen für diese Definition a(x) bzw. b(x) = 0 sein? Nein

Wie kommst Du darauf?

Answer 2

(1) Ich habe nichts gefunden, was a(x)=0 verbietet.

(2) Rechne einfach mit dem Bernoulli-Ansatz, dann siehst Du selber, ob (oder dass) es funktioniert.