Analysis: Zeigen Sie, dass es ein t ∈ [0, 1] gibt mit f(t + 1) = f(t)

Question

Aufgabe:

Sei f : [0, 2] → R stetig und f(0) = f(2). Zeigen Sie, dass es ein t ∈ [0, 1] gibt mit
f(t + 1) = f(t).

Problem/Ansatz:

Normalerweise wuerde ich es mit dem Zwischenwertsatz machen aber ich glaube denn kann ich nicht anwenden weil f(0)=f(2) ist und somit Beginn und Ende meines Intervalls gleich sind.

Ich habe gedacht sowas wie:
f(0) = f(2)

g(t) = f(t+1) - f(t) = 0

g(0) = f(1) - f(0) -> f(1) = f(0)

g(1) = f(2) - f(1) -> f(2) = f(1)

Aber jetzt weiß ich nicht weiter... Ich habe keine unterschiedlichen Vorzeichen womit ich den zwischenwertsatz anwenden koennte.

Comments

Schau hier: https://www.mathelounge.de/30734/zeigen-sie-dass-ein-0-1-2-existiert-mit-f-x-f-x-1-2-f-stetig-mit-f-0-f.

Answer 1

g(t) = f(t+1) - f(t)

Sieht gut aus.

g(1) = f(2) - f(1)

Wegen f(0) = f(2) kann man das weiter umformen:

    g(1) = f(2) - f(1) = f(0) - f(1) = -(f(1) - f(0)) = -g(0).

Jetzt Fallunterscheidung:

1. g(0) > 0
2. g(0) = 0
3. g(0) < 0
   

Answer 2

Du bist schon auf dem richtigen Weg.

Betrachte weiterhin \(g(t) = f(t+1) - f(t)\), was eine stetige Funktion auf [0,1] ist.

Wenn \(f(1) = f(0)\) gibt es nichts zu zeigen, weil dann \(t=0\) die gewünschte Eigenschaft hat.

Sei also \(f(1) > f(0)\) - andernfalls betrachten wir \(-f\).

Dann haben wir:

$$g(0) = f(1) - f(0) > 0$$

$$g(1) = f(2) - f(1) = f(0) - f(1) < 0$$

Per Zwischenwertsatz gibt es nun ein \(t\in [0,1]\) mit \(g(t) =0\) und wir sind fertig.