Eigenvektoren berechnen mit zwei Nullzeilen

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Frage zu den Eigenvektoren

ich habe die Matrix und habe nun den Gauß Algorithmus angewendet

$$\begin{pmatrix} -4& -2&2 \\ 4& 2&-2\\ -8&-4&4 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 2&1&-1 \\ 0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

ich habe aber nun zwei Nullzeilen.

laut meiner Lösung sollte nun als Eigenvektoren mit dem Eigenwert 1 f

E(A,1)= span $$\begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$$

rauskommen.

Problem/Ansatz:

Ich brauche nun dabei Hilfe wie ich auf diese Eigenvektoren komme. Bei nur einer Nullzeile finde ich es noch einfach aber bei zwei verstehe ich es leider nicht mehr.

Answer 1

Hallo

du hast die Gl . 2x+y-z=x als einzige Gleichung, du kannst 2 Komponenten willkürlich wählen hier wurde einmal z=0, einmal x=0 gewählt. das ist am einfachsten,  du kannst auch x=1 y=1 wählen und z bestimmen, dann x=1y=2  oder sonst wie.

Gruß lul

Comments

Muss ich dabei auf irgendetwas achten? oder kann ich mir da einfach zahlen aussuchen?

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Hallo lul,

das Schreibfehlerteufelchen hat bei dir zugeschlagen.

Du meinst sicher nicht 2x+y-z=x, sondern 2x+y-z=0 !

Answer 2

Aloha :)

Du hast eine Bedingung für den Lösungsraum erhalten, nämlich:$$2x+y-z=0\quad\implies\quad z=2x+y$$Damit kannst du alle Lösungen angeben:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\2x+y\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Die beiden Vektoren $(1;0;2)^T$ und $(0;1;1)^T$ spannen den Lösungsraum auf, bilden also eine mögliche Basis des Lösungsraum und sind damit ein mögliches Paar von Eigenvektoren. Da eine Basis für einen Vektorraum nie eindeutig ist, gibt es auch kein eindeutiges Paar von Eigenvektoren. Du kannst z.B. jeden Basisvektor mit einer beliebigen reelen Zahl $\ne0$ multiplizieren.

Dein Leerer hat in den Lösungen zum Beispiel eine andere Umformung der Bedinung für den Lösungsraum gewählt:$$2x+y-z=0\quad\implies\quad y=-2x+z$$Das liefert dann ein anderes mögliches Paar von Eigenvektoren:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-2x+z\\z\end{pmatrix}=x\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=-x\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}+z\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Warum dein Leerer beim ersten Eigenvektor noch das Minuszeichen als Faktor aus dem Vektor gezogen hat, weiß nur er...