Funktion in Laurent-Reihe über Potenzen entwickeln

Question

Aufgabe:

Erweitern Sie die Funktion \( f(z)=\frac{1}{(z-3)(z-2)} \) in Laurent-Reihen über Potenzen von \( (z-i) \) im Ring \( \sqrt{5}<|z-i|<\sqrt{10} \) (6P) und um \( z=\infty \)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand zeigen, wie man die Funktion in einer Laurent-Reihe erweitert?

Answer 1

Allgemeiner Hinweis:

Der Autor der Aufgabe hat wohl den Ausdruck "expand a function into a Laurent series" irreführend übersetzt. Die Funktion \(f(z) = \frac 1{(z-3)(z-2)}\) ist auf \(\mathbb C \setminus \{3,2\}\) holomorph und kann nicht "erweitert" sondern in eine Laurent-Reihe entwickelt werden.

Die zugehörige Laurent-Reihe um \(z=i\) ist dann wegen der beiden Singularitäten in \(z=2\) und \(z=3\) nur im Kreisring

\(|2-i| = \sqrt 5 < |z-i| < \sqrt{10} = |3-i|\)

konvergent. Das ist also definitiv keine "Erweiterung" der Funktion.

Laurent-Reihe um i:

$$\begin{array}{rcl}\frac 1{(z-3)(z-2)} & = & \frac {(z-2)-(z-3)}{(z-3)(z-2)} \\ & = & \frac 1{z-3} - \frac 1{z-2} \\ & = & \frac 1{(z-i)-(3-i)} - \frac 1{(z-i)-(2-i)} \\ & = & -\frac 1{3-i} \frac 1{1-\frac{z-i}{3-i}} - \frac 1{z-i}\frac 1{1-\frac{2-i}{z-i}} \\ & = & -\frac 1{3-i} \sum_{n\geq 0} \left(\frac{z-i}{3-i}\right)^n - \frac 1{z-i}\sum_{n\geq 0} \left(\frac{2-i}{z-i}\right)^n \\ & = & \sum_{n\geq 0} \left(-\frac 1{(3-i)^{n+1}}\right)(z-i)^n + \sum_{n\geq 1} \left(-(2-i)^{n-1}\right)\frac 1{(z-i)^{n}}\end{array}$$

Laurent-Reihe um \(\infty\):

Setze \(z=\frac 1w\) in die Funktion ein und entwickle um \(w=0\). Zum Schluss ersetzt du wieder \(w= \frac 1z\).

Genaueres schreib ich erst, wenn ich einen echten Lösungsversuch von deiner Seite sehen.

Comments

Danke schonmal für deine Hilfe.

Also ich habs jetzt so versucht:

f(z) = \( \frac{1}{(\frac{1}{w} - 3)(\frac{1}{w}-2)} \)

= \( \frac{w^2}{(1-3w)(1-2w)} \)

f(w) = \( \frac{w^2}{(1-3w)(1-2w)} \) = \( \frac{A}{1-3w} \) + \( \frac{B}{1-2w} \)

\( w^{2} \) = A(1-2w) + B(1-3w)

wenn w=0

A = \( \frac{1}{1-2w} \) =1

B = \( \frac{1}{1-3w} \) =1

f(z) = \( \frac{1}{z-3} \) + \( \frac{1}{z-2} \)

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\(w^2\) kannst du als Faktor lassen.

Zerlege nur

\(\frac 1{(1-3w)(1-2w)} \stackrel{\text{Tipp}}{=}\frac{(1-2w)-(1-3w)}{(1-3w)(1-2w)}\)

So erhältst du zwei Brüche, die du in geometrische Reihen umwandeln kannst. Den Faktor \(w^2\) kannst du zum Schluss noch ranmultiplizieren.

Probier mal weiter. Kriegst du bestimmt hin.

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Also ich komm dann auf:

f(z) = -\( \frac{1}{3} \) \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{z^{n}}{3^{n}}} \) - \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\sum\limits_{k=0}^{\infty}{(-1)^{k}}} \) \( \begin{pmatrix} n\\k\\ \end{pmatrix} \) \( z^{k} \)

Ist das richtig? Falls nein, bin ich dann etwas überfordert :/