Wie erweitert man diese Funktion als Laurent-Reihe für |z| > 3?

Question

Text erkannt:

Die Funktion \( f(z)=\frac{1}{(z-3)(z-2)} \) ist außerhalb dem Kreis \( |z| \leq 3 \) analytisch und hat die Eigenschaft \( \lim \limits_{z \rightarrow 0} f(z)=0 \). Erweitern Sie diese Funktion in eine Laurent-Reihe für \( |z|>3 \).

Wie erweitert man diese Funktion als Laurent-Reihe für |z| > 3 ?

Comments

Das Wort "erweitern" kommt mir in diesem Zusammenhang merkwürdig vor. Soll es vielleicht "entwickeln" heißen?

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Ja, entwickeln würde auch passen. Ist vielleicht ein Übersetzungsfehler, da die Aufgabe ursprünglich auf englisch formuliert war

Answer 1

Mittels Partialbruchzerlegung ergibt sich
\(\begin{aligned} \frac{1}{ ( z - 3) ( z - 2) } = \frac{1}{ z - 3}  - \frac{1}{ z - 2} .\end{aligned}\)
Weiterhin gilt
\(\begin{aligned} \frac{1}{ z - 3} = \frac{1}{ z} \frac{1}{ 1 - 3 / z} = \frac{1}{ z} \sum_{ k = 0}^{\infty} \left( \frac{3}{ z} \right)^{ k} = \sum_{ k = 0}^{\infty} 3^{ k} z^{ -( k + 1) } \end{aligned}\)
für \( \left| 3 / z\right| < 1 \iff \left| z\right| > 3\)
und
\(\begin{aligned} \frac{1}{ z - 2} = \frac{1}{ z} \frac{1}{ 1 - 2 / z} = \frac{1}{ z} \sum_{ k = 0}^{\infty} \left( \frac{2}{ z} \right)^{ k} = \sum_{ k = 0}^{\infty} 2^{ k} z^{ -( k + 1) } \end{aligned}\)
für \( \left| z\right| > 2\). Insgesamt also
\(\begin{aligned}   \sum_{ k = 0}^{\infty} (  { 3^{ k}- 2^{ k}}) z^{ -( k + 1) } .\end{aligned}\)

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Dankeschön für die Hilfe