Partialbruchzerlegung:
\( f (z) = \frac{z}{z^2+1} = \frac{1}{2} * \frac{1}{z-i} + \frac{1}{2} * \frac{1}{z+i} \)
Der Term \( \frac{1}{z-i} \) entspricht dem Hauptteil der Laurent-Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{b_{n}}{(z - i)^n}} \) , d.h. nur \( b_{1} \) ist ungleich 0.
Den Term \( \frac{1}{z+i} \) in eine geometrische Reihe umwandeln (diese bildet den Nebenteil der Laurent-Reihe):
\( \frac{1}{z+i} = \frac{1}{2i} * \frac{1}{1 + \frac{z-i}{2i}} = \frac{1}{2i} * \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ (-\frac{z-i}{2i})^n } = \frac{1}{2i} * \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ a_{n} * (z - i)^n }\) mit \( a_{n} = (-\frac{1}{2i})^n \)
Somit lautet die Laurent-Reihe mit dem Entwicklungspunkt i:
f(z) = \( \frac{1}{2} * \frac{1}{z-i} + \frac{1}{4i} * \sum\limits_{n=0}^{\infty}{ (-\frac{1}{2i})^n * (z - i)^n }\)
Die Reihe konvergiert für 0 < |z-i| < 2
