Welche Steigung hat eine Gerade, die die Gesamtfläche der 5 Kreise halbiert?

Question

Diese Aufgabe wurde nach zahlreichen Hinweisen überarbeitet und geändert:

Gegeben sind 5 gleichgroße Kreise im Koordinatensystem (siehe Abbildung). Welche Steigung hat eine Gerade, die die Gesamtfläche der 5 Kreise in paarweise kongruente Teilstücke halbiert?

Comments

Ich stimme Mathecoach zu und finde die Aufgabe auch unvollständig formuliert.

Es soll wohl nicht einfach der gesamte Flächeninhalt halbiert werden, sondern die Kreise sollen in paarweise kongruente Teilstücke zerlegt werden. Auf beiden Seiten der Schnittgeraden verbleiben je ein Vollkreis, je ein Halbkreis, je ein kleines und ein großes Segment.

Für einen Lösungsweg könnte man sich also auf folgende Aufgabe konzentrieren:  Lege durch das Zentrum (-2 | -1) des Kreises links unten eine Gerade, welche die beiden Kreise mit den Zentren (0 | -1) und  (2 | 1)  in gleich langen Sehnen durchschneidet. Aus der letzten Bedingung ist dann leicht zu erkennen, dass die Schnittgerade die x-Achse bei x=1 kreuzen muss. Daraus ergibt sich dann auch die Geradensteigung  m = 1/3 .

(Kreisradius r=1 angenommen)

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Was halbiert werden soll ist hier gelb unterlegt:

Ist das wirklich unverständlich formuliert?

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Eindeutig wäre meiner Meinung nach die Ergänzung:

Die Gerade verläuft durch den Mittelpunkt des linken unteren Kreises.

Ohne eine weitere Bedingung gibt es als Lösung der Original-Aufgabe unendlich viele Geraden.

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Eindeutig wäre meiner Meinung nach die Ergänzung:

"Die Gerade verläuft durch den Mittelpunkt des linken unteren Kreises."

Naja, das stimmt zwar. Es war aber kaum die Absicht des ursprünglichen Erfinders der Aufgabe, dies vorzugeben !

Deshalb Frage an Roland: woher stammte die Aufgabe, und wie war sie zuerst genau formuliert ?

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Darf ich annehmen, dass

Die Gerade verläuft durch den Mittelpunkt des linken unteren Kreises.

durch die vom Mittelpunkt unterbrochene Linie der gesuchten Geraden sicher gestellt wird?

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@Gast az0815:

mit deinem Stumpfsinn kannst du meinetwegen andere beglücken ....

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rumar meinte:

@Gast az0815:
mit deinem Stumpfsinn kannst du meinetwegen andere beglücken ....

Das ist eine ernstgemeinte Frage.

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Weil's so nett ausssieht, spendiere ich dazu ein Desmos-Script:

https://www.desmos.com/calculator/pf2gr4pk1a

den Punkt \(X\) rechts im Bild kann man mit der Maus bewegen. Der verwendete Algorithmus würde auch funktionieren, wenn es mehr als zwei Kreise sind, die nicht mittig geschnitten werden.

Ich hatte nicht kapiert, dass die Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises links unten verlaufen soll.

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Roland:  Danke für die Änderung !

Answer 1

Aloha :)

Die Lösung ist nicht eindeutig.

Als ich die Skizze gesehen habe, dachte ich mir aber, dass du vermutlich auf$$\frac12\cdot(4+1)=2+\frac12$$hinaus möchtest. Dann ist die Nullstelle der Geraden bei \((r|0)\). Die Gerade verläuft sozusagen exakt durch die Mitte der 4 quadratisch angeordneten Kreise.

Ein weiterer Punkt der Geraden ist der Mittelpunkt \((-2r|-r)\) des Kreises unten links.

Das führt auf die Geradengleichung:\(\quad \pink{y=\frac{x-r}{3}}\)

Answer 2

Welche Steigung hat eine Gerade, die die Gesamtfläche der 5 Kreise halbiert?

Ich glaube ich verstehe die Frage nicht wirklich. Es gibt eine senkrechte Gerade, welche die Gesamtfläche halbiert und es gibt auch eine waagerechte Gerade welche die Gesamtfläche halbiert.

Mache ich einen Denkfehler und wenn ja wo?

Die Gerade die wohl eingezeichnet ist hat die Steigung 1/3, für die Gerade hast du aber nicht die Bedingung aufgeschrieben die noch erfüllt sein soll. Man kann diese wohl der Skizze entnehmen. Aber für eine gute Aufgabe langt das nicht.

Comments

Was halbiert werden soll, ist gelb unterlegt:

Ist das wirklich unverständlich formuliert?

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Der gesamte gelb markierte Bereich kann auch durch Geraden beliebiger Steigungen flächenmäßig halbiert werden, wie schon Mathecoach angemerkt hat. (***)

Ich denke, dass ich die eigentlich intendierte Fragestellung in meinem obigen Kommentar richtig interpretiert habe.

(***)  Für die Ermittlung beliebiger "Gesamtflächeninhalts-Halbierungen" wird man aber in den meisten Fällen komplizierte (Näherungs-) Rechnungen durchführen müssen. Nur wenn man die erzeugten Teilstücke der Kreise einander paarweise leicht zuordnen kann (wie mit m = 1/3) , hat man eine anschaulich greifbare exakte Lösung.

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Ich schlage mal wieder eine abgeleitete Aufgabe vor :
" Zeige, dass es eine Gerade gibt, die sowohl den Inhalt als auch den Umfang jeder gegebenen Fläche halbiert. "

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" Zeige, dass es eine Gerade gibt, die sowohl den Inhalt als auch den Umfang jeder gegebenen Fläche halbiert. "

.... und was soll dann "jede gegebene Fläche" sein ?

(doch sicher nicht jede der 5 Kreisscheiben ...)

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z.B. die grüne hier

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Mehr als allenfalls ein skizzierter Existenzbeweis (unter bestimmten Regularitätsvoraussetzungen für die Randkurve(n)) wird dir aber für diese Fasnachtsfigur kaum gelingen ....

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Mehr als allenfalls ein skizzierter Existenzbeweis (unter bestimmten Regularitätsvoraussetzungen für die Randkurve(n)) wird dir aber für diese Fasnachtsfigur kaum gelingen ....

Zunächst gibt es unendlich viele Geraden, die den Flächeninhalt jeder Fläche halbieren. Und zwar zu jedem beliebigen Winkel, der mit der x-Achse gebildet wird.

Ich denke, der Zwischenwertsatz garantiert dann eine Gerade, die auch den Umfang halbiert.

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Ich denke, der Zwischenwertsatz garantiert dann eine Gerade, die auch den Umfang halbiert.

Genau daran habe ich beim Stichwort "Existenzbeweis" auch gedacht. Um den Satz anwenden zu können, müssen aber gewisse Regularitätsbedingungen erfüllt sein, die ich jetzt hier nicht aufzählen will.