Die Vektoren \(x_1,\cdots, x_n,\; x_1+x_2+\cdots+x_n\) sind genau dann
linear abhängig, wenn es \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n,\lambda_{n+1}\) gibt,
wobei nicht alle \(\lambda_i=0\) sind \((i=1,2,\cdots,n,n+1)\), so dass
\(\lambda_1x_1+\cdots \lambda_nx_n+\lambda_{n+1}(x_1+\cdots+x_n)=0\) ist.
Das lässt sich leicht bewerkstelligen:
Nimm \(\lambda_1=\cdots=\lambda_n=1\) und \(\lambda_{n+1}=-1\).
Fehlt noch zu zeigen, dass je \(n\) der Vektoren linear unabhängig sind.
Ich zeige, dass \(x_1,\cdots,x_{n-1},\; x_1+\cdots+x_n\) linear unabhängig sind.
Alle anderen Fälle gehen analog und der Fall \(x_1,\cdots,x_n\) ist durch
die Voraussetzung bereits gedeckt.
Sei also \(\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_{n-1}x_{n-1}+\lambda(x_1+\cdots x_n)=0\quad (*)\).
Es muss gezeigt werden, dass \(\lambda_1=\cdots=\lambda_{n-1}=\lambda=0\quad (**)\) ist.
Aus \((*)\) folgt
\((\lambda_1+\lambda)x_1+\cdots + (\lambda_{n-1}+\lambda)x_{n-1}+\lambda x_n=0\).
Da die \(x_1,\cdots,x_n\) linear unabhängig sind, folgt
\(\lambda_1+\lambda=\cdots=\lambda_{n-1}+\lambda=\lambda=0\), also
\(\lambda_1=\cdots=\lambda_{n-1}=\lambda=0\), d.h. \((**)\).
