Du kannst zunächst grundsätzlich bei b) so vorgehen und \(F_Y\) so bestimmen.
Dabei musst du aber sehr sorgfältig aufpassen, welche Werte \(\frac t{1+t}\) annimmt und wieso zum Beispiel \(1+t < 0\) in deiner Umformung nicht vorkommen kann (was das Relationszeichen in dem Schritt \(P((1+t)X \leq t) = P(X\leq \frac t{1+t})\) beeinflusen würde).
Zum Beispiel macht auch deine Angabe \(F_Y(t) = 1\) für \(\frac t{1+t}\geq 1\) keinen Sinn, da
\(\frac t{1+t} = \frac{1+t-1}{1+t} = 1-\frac 1{1+t}\) für \(t > 0\) nie 1 werden kann. Für \(t <0\) ist sowieso \(F_Y(t) = 0\).
Per Transformation - also Substitution - hast du es deutlich einfacher:
Die Dichte von \(X\) lebt auf (0,1). Damit lebt die Dichte von \(Y\) auf \((0,\infty)\).
Für eine beliebige (Borel-)messbare Menge \(A \subseteq \mathbb R\) hast du
\(P(X\in A) = \int_A f_X(x)\, dx = \lambda \int_0^1\chi_A(x)\frac 1{(1-x)^2}e^{-\lambda\frac x{1-x}}\, dx\)
Nun ist \(\left(\frac x{1-x}\right)'=\frac 1{(1-x)^2}\). Damit folgt per Substitution/Transformation
$$y=\frac x{1-x}\Rightarrow$$ $$\lambda \int_0^1\chi_A(x)\frac 1{(1-x)^2}e^{-\lambda\frac x{1-x}}\, dx = \lambda \int_0^{\infty}\chi_{T(A)}(y)e^{-\lambda y}\, dy$$$$= \int_{T(A)}f_Y(y)\, dy = P( Y \in T(A))$$
Also \(f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}\) für \(y> 0\) und \(f_Y(y)=0\) für \(y \leq 0\).
