Wahrscheinlichkeit, die Dichte von Zufallsvariable

Question

Sei X eine gleichverteilte Zufallsvariable auf (0, 1). Man bestimme die Dichte von Zufallsvariable Y = − ln X.

Answer 1

Hallo,

es ist \( g(x) = - \log(x) \) und somit \( g^{-1}(y) = \exp(-y) \). Ist \( f(x) = I_{(0, 1)}(x) \) die Dichte von \( X \), so ergibt sich die Dichte von \( Y \) durch

\( h(y) = f(g^{-1}(y)) \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right| \)
\( = I_{(0, 1)}(g^{-1}(y)) \exp(-y) \)
\( =  I_{(0, \infty)}(y) \exp(-y) \).

Grüße

Mister

Quellen für die Transformationsformel: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/6985 für den Spezialfall einer Dimension und https://www.ml.uni-saarland.de/Lectures/MfI3-WS11/ZusatzHerleitungVerteilungen.pdf für Zufallsvektoren