Statistik: Dichte einer Zufallsvariable

Question

ich habe folgende Aufgabe: Die Zufallsvariable X bestitzt die Dichte fx. Berechnen Sie die Dichte von Y = aX+b.

Habe leider nicht wirklich einen Ansatz und bin nicht sehr geübt in diesen theoretischen Aufgabentypen ohne tatsächliche gegebene Funktion.

Bisher bin ich über die Verteilungsfunktion auf die kumulierte Wahrscheinlichkeit gekommen und habe:
P(aX+b ≤ t).

Jetzt muss ich das (laut mir vorliegender Lösung die ich nicht ganz verstehe) in einer Fallunterscheidung für a auflösen.

Bei dem Fall a>0 steht Folgendes: F_Y(t) = P(X ≤ (t-b)/a) = F(x)((t-b)/a) um dann davon die Abbildung zu bilden zu: fY(t) = f_X((t-b)/a)*1/a

Die rot markierten Umformungen verstehe ich nicht, könnte mir da vielleicht jemand kurz helfen?

Danke schonmal

Answer 1

Bei dem Fall a>0 steht Folgendes: F_Y(t) = P(X ≤ (t-b)/a) = F_(x)((t-b)/a) um dann davon die Abbildung zu bilden zu: fY(t) = f_X((t-b)/a)*1/a.

f_(X) soll wohl die Ableitung von F_(X) sein. 

Und zwar wird nach t abgeleitet. Die Funktion ist "von ((t-b)/a) =( t/a - b/a) " 

Die innere Ableitung ist dann 1/a , was als Faktor neben die Ableitung zu stehen kommt. 

Answer 2

Bei dem Fall a>0 steht Folgendes:
F_Y(t) = P(X ≤ (t-b)/a) = F(x)((t-b)/a)
um dann davon die Ableitung zu bilden zu:
fY(t) = f_X((t-b)/a)*1/a

Hi, ich versuche einmal, es etwas zu entwirren und die Schreibweise zu vereinheitlichen.
Zunächst wird durch eine lineare Transformation \(F_Y\) durch \(F_X\) ausgedrückt:

$$ F_Y(t) = P\left(X \le \frac{t-b}{a} \right) = F_X\left(\frac{t-b}{a} \right) $$Dann wird mittels Kettenregel abgeleitet:$$ f_Y(t) = F'_Y(t) = F'_X\left(\frac{t-b}{a} \right) = F'_X\left( \frac 1a \cdot t - \frac ba \right) \\\,\\= f_X\left( \frac 1a \cdot t - \frac ba \right) \cdot \frac 1a$$