Verteilungsfunktion aus Dichte bestimmen

Question

Hallo zusammen,

habe ich die folgende Aufgabe richtig gelöst?

Sei X eine stetive Zufallsvariable auf Ω = [-1,1] mit einer Dichte gegeben durch

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} ax + b, & x\in [-1,1] \\       0, &  sonst\end{array}\right. . $$

Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(z) = P(X <= z).

Hier bleibt nur die Verteilungsfunktion von x in [-1,1]: $$\int \limits_{-1}^{x}[\frac{1}{2}t^2 + bt]$$

Ergibt:$$ F(x) = \frac{1}{2}ax^2 + bx -\frac{1}{2}a - b$$

Comments

Ohne Einschränkungen an a und b liegt doch allgemein gar keine Dichte vor!?

Answer 1

Aloha :)

Als Dichtefunktion muss$$f(x)=ax+b\quad;\quad x\in[-1;1]$$über dem Ereignisraum auf \(1\) normiert sein:$$1\stackrel!=\int\limits_{-1}^1f(x)dx=\int\limits_{-1}^1(ax+b)dx=\left[\frac a2x^2+bx\right]_{-1}^1=2b\quad\implies\quad b=\frac12$$

Die entsprechende Verteilungsfunktion lautet:$$F(x)=\int\limits_{-1}^xf(t)dt=\int\limits_{-1}^x\left(at+\frac12\right)dt=\left[\frac a2t^2+\frac t2\right]_{-1}^x=\frac{ax^2+x-a+1}{2}$$Das entspricht fast deinem Ergebnis mit \(b=\frac12\).

Comments

Hallo,

im Endergebnis muss es +1 heißen.

Die Werte für a müssen ebenfalls eingeschränkt werden, weil eine Dichte in die nichtnegativen Zahlen abbilden muss. Ohne Vorbehalte bezüglich a,b ist die Aufgabe falsch gestellt.

Gruß Mathhilf

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Danke dir, habe die \(+1\) korrigiert ;)

Zu \(a\) habe ich nichts weiter angenommen. Die möglichen Werte für \(a\) sind nur dadurch eingeschränkt, dass Wahrscheinlichkeiten zwischen \(0\) und \(1\) liegen müssen. Im Gegensatz zu \(b\) ist der Wert von \(a\) aber nicht eindeutig festgelegt.

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Danke für deine Antwort! :)

Der Fehler geht wohl auf meine Kappe :(

In der Voraufgabe, hieß es man solle die Parameter für a und b so finden, dass f eine Dichte ist. Dort habe ich wie Tschakabumba für b = 1/2 errechnet gehabt.

Damit kommt dann ja mein Ergebnis tatsächlich fast hin.

Aber das führt mich gleich zu einer Nachfrage: Bei der Bestimmung der Paramter habe ich eben auch nur den Wert für b berechnet.

Bei der Bestimmung der Paramter waren folgende Antwortmöglichkeiten vorgegeben:

a) b = 1/2 und a ∈ R

b) b = 1/2 und a >= 1/2

c) a, b ∈ R

d) b = 1/2 und |a| <= 1/2

e) 2a + 2b = 1

Aber was stimmt denn nun für a?

Wenn ich b = 1/2 oben einsetze und nach a auflöse, erhalte ich für a = 1.

Damit stimmen dann ja die Aussagen: a) und c). Oder?

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Der Wert für \(a\) ist dadurch begrenzt, dass alle Wahrscheinlichkeiten zwischen \(0\) und \(1\) liegen müssen:$$0\le ax+b\le1\Longleftrightarrow0\le ax+\frac12+1\Longleftrightarrow-\frac12\le ax\le\frac12$$Da \(x\in[-1|1]\) liegt, muss also \(a\in[-\frac12;\frac12]\) liegen.