Grenzwert: x im Exponent

Question

Aufgabe:

lim x \> 0 (Pfeil von oben nach unten) (y^x - z^x) / x           y,z > 0

Problem/Ansatz:

0 Eingesetzt ergbit sich ja (1-1)/0

Also wende ich L'Hopital an und leite ab:

(d/dx y^x - d/dx z^x)/ d/dx x

Mit dem Ergebnis:

(y^x*ln(y) - z^x*ln(z))/1

Wenn ich jetzt wieder 0 einsetze dann komme ich auf:

ln(y)-ln(z)

Meine Frage ist

a) Ist das die richtige Loesung

und

b) warum ist in der Aufgabe der Pfeil von oben nach unten - ich habe die Aufgabe jetzt geloest indem ich es gemacht habe als stuende da lim x->0

Answer 1

Aloha :)

Der Pfeil \(\searrow\) bedeutet "von oben her", d.h. der Grenzwert \(x\to0\) wird gebildet, indem man sich von der positiven Seite \((x>0)\) der Null nähert.

Mit L'Hospital wäre das dann:$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{y^x-z^x}{x}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{\ln(y)\,y^x-\ln(z)\,z^x}{1}=\ln(y)-\ln(z)$$

Alternativ ginge es auch mit dem Differentialquotienten:$$\lim\limits_{x\to0}\frac{y^x-z^x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(y^x-1)-(z^x-1)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{y^x-1}{x}-\lim\limits_{x\to0}\frac{z^x-1}{x}$$$$\phantom{\lim\limits_{x\to0}\frac{y^x-z^x}{x}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{y^x-y^0}{x-0}-\lim\limits_{x\to0}\frac{z^x-z^0}{x-0}=\left(y^x\right)'_{x=0}+\left(z^x\right)'_{x=0}=\ln(y)-\ln(z)$$

Answer 2

Hallo

die Lösung ist richtig, und der GW sicher für x>0 warum nicht einfach für x->0 sehe ich nicht,

Gruß lul

Answer 3

Die Lösung ist richtig.