Grenzwert von negativem Bruch mit Exponent

Question

Aufgabe:

Was ist der Grenzwert von der Folge

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)(\( \frac{2}{3} \))ⁿ+ (\( \frac{-2}{3} \))ⁿ

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis 0, aber ich bin wegen (-2/3)ⁿ verwirrt.

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\left(\frac23\right)^n+\left(-\frac23\right)^n=\left\{\begin{array}{ll}\left(\frac23\right)^n+\left(\frac23\right)^n=2\cdot\left(\frac23\right)^n & \text{wenn \(n\) gerade}\\[2ex]\left(\frac23\right)^n-\left(\frac23\right)^n=0 & \text{wenn \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$Wir halten für alle \(n\in\mathbb N\) fest:$$0\le a_n\le2\cdot\left(\frac23\right)^n\to2\cdot0=0$$Daher konvergiert die Folge gegen Null: \((a_n)\to0\).

Answer 2

(-2/3)^n = (-1)^n*(2/3)^n

Klammere (2/3)^n aus.

Answer 3

(\( \frac{2}{3} \))ⁿ+ (\( \frac{-2}{3} \))ⁿ=0 für alle ungeraden n.  Für gerade n ergibt sich \( \frac{2^{n+1}}{3^n} \) . Es gibt also keinen Grenzwert.

Comments

Doch, den gibt es.

Answer 4

Es gilt \(\lim a^n = 0\), falls \(|a|<1\), also hier \(\lim (\frac23)^n+(-\frac23)^n = 0+0 =0\).