Zeigen Sie, dass die Gerade und die Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.

Question

Gegeben sind eine Gerade \( g \) und eine Ebene \( E \):

\( g: \vec{r}(\lambda)=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \quad(\lambda \in \mathbb{R}), \quad E: \vec{n} \cdot\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=2(x-1)+(y-2)+(z+3)=0 \)

Zeigen Sie, dass die Gerade und die Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel.

Comments

Ich schreibe k statt Lambda.
Idee: Wenn man eindeutig einen Schnittpunkt berechnen kann, schneiden sich Gerade und Ebene.

Setze x = 3 + k, y = 2 + 2k, z = -3k

in E: 2(x-1) + (y-2) + (z+3) = 0 ein und berechne k.
Danach k in Geradengleichung einsetzen und du hast den Schnittpunkt.

Ich hoffe, das hilft dir mal ein Stück weiter.

Answer 1

g: X = [3, 2, 0] + r * [1, 2, -3] = [r + 3, 2·r + 2, - 3·r]

E: 2·(x - 1) + (y - 2) + (z + 3) = 0

E: 2·x + y + z - 1 = 0

Hier jetzt die Gerade einsetzen

2·(r + 3) + (2·r + 2) + (- 3·r) - 1 = 0
r + 7 = 0
r = - 7

S = [3, 2, 0] - 7 * [1, 2, -3] = [-4, -12, 21]

Schnittwinkel

α = ARCSIN(([1, 2, -3] * [2, 1, 1]) / (|[1, 2, -3]| * |[2, 1, 1]|)) = 6.264°