Bestimmen Sie die reellen Zahlen p und q in der Matrixgleichung: A^3 = pA^2 + qA.

Question

Bestimmen Sie die reellen Zahlen \( p \) und \( q \) so, dass für die Matrix \( \underline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \) die folgende Gleichung erfüllt ist:

\( \underline{A}^{3}=p \cdot \underline{A}^{2}+q \cdot \underline{A} \)

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Weg:
Berechne die Matrizen A^2 = A*A und A^3 = A*A^2

und schreibe dann die Matrixgleichung mit den vollständigen Matrizen hin.
Vereinfache die Seiten zu je einer Matrix und vergleiche die beiden Matrizen elementweise.

Answer 1

Das charakteristische Polynom von  A  lautet  p_A(t) = t³ - 3t² + 2t. Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt p_A(A) = 0. Daraus folgt  A³ = 3A² - 2A.

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@bitator: Lies mal das hier https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cayley-Hamilton

Dann kannst du dort dem Link zum charakteristischen Polynom folgen.