Gegeben sei die Matrixgleichung Überprüfung der Ergebnisse

Question

Gegeben sei die Matrixgleichung X*A+B=C mit den Matrizen

A=(3    −2

     −1    4)

B=(−4   2

       -3     4)

C=(12    -42

      18  10)

Bestimmen Sie die Matrix und kreuzen Sie alle richtigen Antworten an.


a. x22=6


b. Die Determinante der Matrix X  ist 12


c. Die Determinante der Matrix A ist 14


d. x11≤2


e. x21≤9

Ich habe es nach Vorlage ähnlicher Aufgaben gerechnet bekomme jedoch trotzdem falsche Ergebnisse.

Ich bekomme für X die Werte x11= 3/5; x12= -72/5; x21= 34/5; und x22= 528/5

Für die Determinante von X hab ich daraus folgend 161,28 rausbekommen und für die Determinante von A 10.

Daraus würde ich schlussfolgern, dass nur d und e richtig sind, das ist jedoch falsch,

Answer 1

Aloha :)$$XA+B=C\quad\Rightarrow\quad XA=C-B\quad\Rightarrow\quad X=(C-B)A^{-1}$$

Wir bestimmen zunächst \(C-B\):$$C-B=\begin{pmatrix}12 & -42 \\ 18 & 10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4 & 2 \\ -3 & 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}16 & -44 \\ 21 & 6\end{pmatrix}$$

Jetzt berechnen wir die Inverse zu \(A\):$$\left(\begin{array}{r}3 & -2\\-1 & 4\end{array}\right)\begin{array}{l}{:3}\\{}\end{array}\qquad\;\;\quad\quad\left(\begin{array}{r}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}1 & -2/3\\-1 & 4\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{+\text{Zeile }1}\end{array}\quad\left(\begin{array}{r}1/3 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}1 & -2/3\\0 & 10/3\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{+\text{Zeile }1}\end{array}\;\;\;\quad\left(\begin{array}{r}1/3 & 0\\1/3 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}1 & -2/3\\0 & 10/3\end{array}\right)\begin{array}{l}{}\\{\cdot3/10}\end{array}\qquad\quad\left(\begin{array}{r}1/3 & 0\\1/3 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}1 & -2/3\\0 & 1\end{array}\right)\begin{array}{l}{+\frac{2}{3}\cdot\text{Zeile} 2}\\{}\end{array}\;\;\left(\begin{array}{r}1/3 & 0\\1/10 & 3/10\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\quad\qquad\qquad\qquad\;\;\left(\begin{array}{r}2/5 & 1/5\\1/10 & 3/10\end{array}\right)$$

Damit können wir nun \(X\) bestimmen:$$X=\begin{pmatrix}16 & -44 \\ 21 & 6\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{r}2/5 & 1/5\\1/10 & 3/10\end{array}\right)=\begin{pmatrix}2 & -10 \\ 9 & 6\end{pmatrix}$$$$\operatorname{det}(X)=2\cdot6-9\cdot(-10)=102$$$$\operatorname{det}(A)=3\cdot4-(-1)\cdot(-2)=14$$