Hallo,
Die Inverse wirst Du in diesem speziellen Fall schwerlich berechnen können, da die Determinante der Matrix \(=0\) ist. Und im allgemeinen Fall ist die Inverse auch keine gute Idee, weil der Aufwand wesentlich größer wäre, als das Gleichungssystem direkt zu lösen.
Bei dieser Gleichungsart, darfst Du Vielfache von Spalten(!) zu anderen Spalten addieren oder abziehen. D.h. aus $$\begin{pmatrix}x& y& z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& 2& 4\\ 0& 1& 1\\ 2& 2& 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 0& 0\end{pmatrix}$$wird, indem man das doppelte der 1.Spalte von der zweiten und das vierfache der 1.Spalte von der dritten Spalte abzieht:$$\begin{pmatrix}x& y& z\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 2& -2& -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 0& 0\end{pmatrix}$$Du siehst nun, dass zwei der drei Spalten identisch sind. Die Determinante muss daher auch \(=0\) sein. Nun setze \(z=t\) und daraus folgt$$x+2z=0 \implies x = -2t \\ y - 2z = 0 \implies y = 2t$$Die Lösungsmenge \(\mathbb L\) ist also$$\mathbb L = \{\begin{pmatrix}x& y& z\end{pmatrix} \in \mathbb R^3\mid\space\begin{pmatrix}x& y& z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2& 2& 1\end{pmatrix}t, \space t \in \mathbb R \}$$
