Matrix innerhalb einer Matrix? Verstehe ich das richtig?

Question

Aufgabe: Sei K ein Körper. Zeigen Sie:

Text erkannt:

(b) Seien \( n \in \mathbb{N}, A \in K^{n \times n}, b \in K^{n} \) und \( \gamma \in K \). Zeigen Sie:
\( \left(\begin{array}{cc} A & 0 \\ b^{\top} & \gamma \end{array}\right) \text { invertierbar } \Longleftrightarrow A \text { invertierbar } \wedge \gamma \neq 0 \)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist eher, dass man hier doch eine Matrix: A innerhalb einer Matrix sieht. Ich wüsste den Ansatz verstehe bloß nicht wie eine Matrix innerhalb einer Matrix sein kann. Ich bitte um Hilfe

Answer 1

Vielleicht hilft das ja schon:

https://de.wikipedia.org/wiki/Blockmatrix#Beispiel

Auf deine Aufgabe angewandt ist dann die Inverse

\(\left(\begin{array}{cc} A & 0 \\ b^{\top} & \gamma \end{array}\right)^{-1} = \left(\begin{array}{cc} A^{-1} & 0 \\ c^{\top} & \frac{1}{\gamma} \end{array}\right)\)

und das c kannst du ja durch das Berechnen der Blöcke so bestimmen,

dass gilt \(  b^{\top} \cdot A^{-1}  + \gamma \cdot c^{\top} = 0 \)

also   \(  c^{\top} =  \frac{-1}{\gamma }\cdot b^{\top} \cdot A^{-1}  = 0 \)

Damit bekommst du es wohl hin.