Unabhängigkeit von Ereignissen im dreifachen Würfelwurf

Question

Aufgabe:

Ein idealer Würfel werde dreimal hintereinander geworfen. Es seien die Ereignisse A:= "das Produkt der Augenzahlen ist 15", B:="die Augensumme der ersten beiden Würfe ist gerade" und C:= "die Augensumme der drei Würfe ist ungerade" definiert. Untersuchen Sie, ob B und C, A und B∩C, A∪B und B∪C stochastisch ungerade sind.

Problem/Ansatz:

Meine berechneten Wahrscheinlichkeiten betragen:
P(A) = 6/216, P(B)= 60/216, P(C)= 60/216, P(B∩C) = 10/216, P(A∪B) = 4/216

Demzufolge wäre aber keines der drei Ereignisse voneinander unabhängig, daher denke ich, dass meine Lösung (einen) Fehler enthält.

Ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe!

Answer 1

Könntest du genau vorrechnen wie du auf P(B) und P(C) kommst?

Comments

Natürlich!

P(B) = {(1,3,x), (3,1,x), (2,4,x), (4,2,x), (2,6,x), (6,2,x), (4,6,x), (6,4,x), (1,5,x), (5,1,x) } wobei x ∈ {1,2,3,4,5,6} daher habe alle Ereignisse mit 6 multipliziert (10*6 =60)

P(B) = 60/216

P(C)= {(1,2,4), (1,2,6), (3,2,4), (3,2,6), (5,2,6), (5,2,4), (1,3,5), (6,4,1), (6,4,5), (6,4,3)}, da man jedes Ereignis auf 6 verschiedene Arten anordnen kann, habe ich hier auch wieder mit 6 multipliziert (10*6)

P(C) = 60/216

|Ω| = 216, da {1,2,3,4,5,6}^3

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P(B) = {(1,3,x), (3,1,x), (2,4,x), (4,2,x), (2,6,x), (6,2,x), (4,6,x), (6,4,x), (1,5,x), (5,1,x) } wobei x ∈ {1,2,3,4,5,6} daher habe alle Ereignisse mit 6 multipliziert (10*6 =60)

Also geht (1,1,x) nicht? du machst es dir viel zu schwer.

die Augensumme der ersten beiden Würfe ist gerade, wenn die ersten beiden würfe jeweils gerade oder jeweils ungerade sind.

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Ok, und wie berechne ich dann die Wahrscheinlichkeit von den ersten beiden Würfen jeweils gerade oder ungerade?

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Ok, und wie berechne ich dann die Wahrscheinlichkeit von den ersten beiden Würfen jeweils gerade oder ungerade?

Die Wahrscheinlichkeit das ein Wurfel eine gerade Augenzahl anzeigt ist 1/2.

Der Wurf von zwei Würfeln ist unabhängig.

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Ok, das heißt P(B) = 1/4 ?

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Ok, das heißt P(B) = 1/4 ?

Nein. Hier ein einfaches Baumdieagramm

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Ok, das erklärt alles viel einfacher, d.h. P(B) = 1/2 und P(C)= 1/4 ?

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P(B) ist jetzt richtig aber wie kommst du auf P(C). Mach doch auch mal ein Baumdiagramm.

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Ok super!

Für P(C) habe ich gerechnet dass die Augensumme von 3 Würfen ungerade ist, wenn alle 3 Würfe ungerade sind oder wenn 2 Würfe gerade und 1 ungerade ist, das wäre im Baumdiagramm dann 1/8 + 1/8 = 1/4

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Vielleich hättest du dir doch ein Baumdiagramm zeichnen sollen

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Ok, d.h. P(C) = 1/2 ?

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Ok, d.h. P(C) = 1/2 ?

Genau, Und unglücklicherweise waren das nicht die einzigen Wahrscheinlichkeiten die nicht richtig waren. Also vielleicht Probierst du jetzt nochmal die Aufgabe etwas sorgfältiger zu lösen. Benutze alles was dir Hilft die Aufgabe zu verstehen. Inkl. Baumdiagramme.

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Ok, danke für deine Hilfe!

Eine Frage hätte ich aber noch, wenn ich P(A), P(B), P(C) weiß, aber nur durch Hilfe der Baumdiagramme, wie kann ich dann P(B∩C) oder P(A∪B) berechnen?

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P(B ∩ C)

Das Notwenige Baumdiagramm hast du doch schon. Was muss gelten damit die Augensumme der ersten beiden Würfe gerade ist und was muss gelten damit die Augensumme aller drei Würfe ungerade ist. Auf welche Pfade im Baumdiagramm trifft das zu und wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit das B und C eintritt.

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Ok, wenn ich mir das im Baumdiagramm anschaue, komme ich für P(B∩C) = 1/4 und für P(A∪B) = 1/2 und P(B∪C) = 3/4.

Ist das so richtig?

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Ok, wenn ich mir das im Baumdiagramm anschaue, komme ich für P(B∩C) = 1/4 und für P(A∪B) = 1/2 und P(B∪C) = 3/4.

Ja prima. Das wäre so richtig.

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Ok, super!

Ich habe jetzt die Unabhängigkeiten neu berechnet, B und C, A und B∩C, A∪B und B∪C sind aber alle abhängig voneinander, ich hoffe, dass dies nun stimmt.

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Tut mir leid das zu sagen, aber da sind nicht alle deine Auswertungen richtig.

Es gibt mehrere Formeln, wie du eine Unabhängigkeit nachweisen kannst

A und B sind unabhängig, wenn gilt

P(A) = P(A | B)

oder

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

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Danke, die erste Formel habe ich nicht gekannt!

Nach meinen neuen Berechnungen sind B und C unabhängig, die letzten beiden aber nicht!

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Das ist richtig. Die erste ist sogar die grundlegende Formel. Die zweite folgt daraus

B ist von A unabhängig, wenn gilt

P(B | A) = P(B | nicht A) = P(B)

Dann gilt offensichtlich nach der Pfadregel

P(A) * P(B | A) = P(A ∩ B)
P(A) * P(B) = P(A ∩ B)

Warum so viele Lehrer nur die zweite Formel zum Testen der Unabhängigkeit vermitteln, ist mir immer unklar. Die erste Formel ist teilweise viel offensichtlicher und oft auch einfacher anzuwenden.

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Juhu, endlich richtig, vielen Dank!!

Danke für die 2. Formel :)