Zeige, dass die inverse Matrix quadratisch ist

Question

Aufgabe:

$$\text{Sei } n \in \mathbb{N}_{>0} \text{ und sei } A \in Mat(n, \mathbb{Z}) \text{ eine Matrix mit } det(A)=\pm1. \text{ Zeigen Sie, dass } A^{-1} \in Mat(n,\mathbb{Z}).$$

Comments

Zeige, dass die inverse Matrix quadratisch ist

Das soll sicher nicht gezeigt werden, da es selbstverständlich ist. Gezeigt werden soll, dass die inverse Matrix ganzzahlig ist.

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Ahh ja gut. Das macht auch Sinn. Da war ich mir halt absolut nicht sicher

Answer 1

Es gilt:

$$A^{-1} = \frac{\operatorname{adj} A}{\operatorname{det} A}$$

Da im Nenner also nur die Deteriminante und damit ± 1 steht, muss die Inverse ganzzahlig sein.