Inverse Matrix und Adjunkte Matrix bestimmen

Question

folgende Aufgabe berechne ich gerade:

                            A: ℝ → ℝ^{2x2 
                                              \( \lambda \mapsto\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 2 & \lambda-1\end{array}\right) \)}

Nun habe ich zunächst die Determinante von A(λ) bestimmt.
Als Ergebnis habe ich: det(A(λ)) = λ² - λ - 2
A(λ) ist für den λ-Wert 2 singulär und für alle λ-Werte ℕ\{2} regulär.

Ich möchte jetzt die adjunkte Matrix und die Inverse von A(λ) bestimmen, für die Werte von λ, für die die Matrix invertierbar ist. Ich weiß, dass eine Matrix invertierbar ist, wenn det(A)≠0

Text erkannt:

\( \lambda \mapsto\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 2 & \lambda-1\end{array}\right) \)

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 2 & \lambda-1\end{array}\right)

Ab diesem Punkt weiß ich leider nicht mehr, wie ich weiter machen muss.
Ich wäre dankbar, falls jemand einmal über die bisherige Rechnung rüberschauen würde und einen Denkanstoß liefern würde.
Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Adjunkte

Sei \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\) dann ist

$$ \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \tilde a_{12}\\ \tilde a_{21}& \tilde a_{22} \end{pmatrix}^T $$ (Transponieren nicht vergessen!) wobei $$ \tilde a_{11} = (-1)^2 \det( a_{22} ) \\ \tilde a_{12} = (-1)^3 \det( a_{21} ) \\\tilde a_{21} = (-1)^3 \det( a_{12} ) \\ \tilde a_{22} = (-1)^4 \det( a_{11} ) $$

d.h. um \( \tilde a_{ij} \) auszurechnen streichst du von A die i-te Zeile und j-te Spalte und berechnest von dem was übrig bleibt die Determinante. Das Ergebnis musst du dann noch mit \( (-1)^{i+j} \) multiplizieren.

Für invertierbare Matrizen ist \( A^{-1} = \det(A)^{-1} \operatorname{adj}(A) \)