für die folgende Matrix A mit Modulo = 11 soll mittels Adjunkte (Streichungsmatrix) die Inverse bestimmt werden. Die Vorgehensweise ist mir für Matrizen ohne Modulo bewusst, scheint jedoch bei Matrizen mit Modulo nicht anwendbar zu sein, zumindest komme ich damit nicht auf korrekte Ergebnisse.
$$A=\begin {pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \\ 7 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad Modulo = 11$$
Kofaktormatrix aufstellen und diese transponieren (Adjunkte)$$det(A_{11})=1*\begin{vmatrix} 6 & 7 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-7=4\quad \quad det(A_{12})=-1*\begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 7 & 0 \end{vmatrix}=49=5\quad \quad det(A_{13})=1*\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 1 \end{vmatrix}=-37=7\\ det(A_{21})=-1*\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=3\quad \quad det(A_{22})=1*\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 0 \end{vmatrix}=-21=1\quad \quad det(A_{23})=-1*\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 7 & 1 \end{vmatrix}=10\\ det(A_{31})=1*\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 7 \end{vmatrix}=-4=7\quad \quad det(A_{32})=-1*\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}=-13=9\quad \quad det(A_{33})=1*\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=14=3$$$$C=\begin {pmatrix} 4 & 5 & 7 \\ 3 & 1 & 10 \\ 7 & 9 & 3 \end{pmatrix}\quad \quad C^T=\begin {pmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 5 & 1 & 9 \\ 7 & 10 & 3 \end{pmatrix}$$
Determinante von A berechnen$$det(A)=(4*6*0)+(2*7*7)+(3*5*1)-(7*6*3)-(1*7*4)-(0*5*2)\\ det(A)=0+98+15-126-28-0\\ det(A)=-41=3$$
Inverse bestimmen$$A^{-1}=\frac {1}{ det(A)} *C^{T}=\frac {1}{3} *\begin{pmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 5 & 1 & 9 \\ 7 & 10 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac {4}{3} & 1 & \frac {7}{3} \\ \frac {5}{3} & \frac {1}{3} & 3 \\ \frac {7}{3} & \frac {10}{3} & 1 \end{pmatrix}$$
Die Inverse ist leider nicht korrekt, das korrekte Ergebnis wäre:$$A=\begin {pmatrix} 5 & 1 & 6 \\ 9 & 4 & 3 \\ 6 & 7 & 1 \end{pmatrix}$$
Damit das Ergebnis stimmt, müsste die Kofaktormatrix mit 4 multipliziert werden, dieser Wert lässt sich über die Formel jedoch nicht erreichen, ganz gleich, welcher Wert für eine Determinante auch herauskommt. Über einen Denkanstoß wäre ich jedenfalls sehr erfreut.
Nette Grüße
Patrick
