Inverse Matrix mit Modulo mittels Adjunkte (Streichungsmatrix) bestimmen

Question

für die folgende Matrix A mit Modulo = 11 soll mittels Adjunkte (Streichungsmatrix) die Inverse bestimmt werden. Die Vorgehensweise ist mir für Matrizen ohne Modulo bewusst, scheint jedoch bei Matrizen mit Modulo nicht anwendbar zu sein, zumindest komme ich damit nicht auf korrekte Ergebnisse.

$$A=\begin {pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 \\ 7 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad Modulo = 11$$
Kofaktormatrix aufstellen und diese transponieren (Adjunkte)$$det(A_{11})=1*\begin{vmatrix} 6 & 7 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=-7=4\quad \quad det(A_{12})=-1*\begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 7 & 0 \end{vmatrix}=49=5\quad \quad det(A_{13})=1*\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 1 \end{vmatrix}=-37=7\\ det(A_{21})=-1*\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}=3\quad \quad det(A_{22})=1*\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 0 \end{vmatrix}=-21=1\quad \quad det(A_{23})=-1*\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 7 & 1 \end{vmatrix}=10\\ det(A_{31})=1*\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 7 \end{vmatrix}=-4=7\quad \quad det(A_{32})=-1*\begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 7 \end{vmatrix}=-13=9\quad \quad det(A_{33})=1*\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}=14=3$$$$C=\begin {pmatrix} 4 & 5 & 7 \\ 3 & 1 & 10 \\ 7 & 9 & 3 \end{pmatrix}\quad \quad C^T=\begin {pmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 5 & 1 & 9 \\ 7 & 10 & 3 \end{pmatrix}$$
Determinante von A berechnen$$det(A)=(4*6*0)+(2*7*7)+(3*5*1)-(7*6*3)-(1*7*4)-(0*5*2)\\ det(A)=0+98+15-126-28-0\\ det(A)=-41=3$$
Inverse bestimmen$$A^{-1}=\frac {1}{ det(A)} *C^{T}=\frac {1}{3} *\begin{pmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 5 & 1 & 9 \\ 7 & 10 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac {4}{3}  & 1 & \frac {7}{3}  \\ \frac {5}{3}  & \frac {1}{3}  & 3 \\ \frac {7}{3}  & \frac {10}{3}  & 1 \end{pmatrix}$$
Die Inverse ist leider nicht korrekt, das korrekte Ergebnis wäre:$$A=\begin {pmatrix} 5 & 1 & 6 \\ 9 & 4 & 3 \\ 6 & 7 & 1 \end{pmatrix}$$
Damit das Ergebnis stimmt, müsste die Kofaktormatrix mit 4 multipliziert werden, dieser Wert lässt sich über die Formel jedoch nicht erreichen, ganz gleich, welcher Wert für eine Determinante auch herauskommt. Über einen Denkanstoß wäre ich jedenfalls sehr erfreut.

Nette Grüße
Patrick

Answer 1

Du hast (fast) alles richtig. Allerdings ist in der Formel mit

1 / det(A)  * C^T  mit dem Term 1 / det(A)  das

Inverse von det(A) gemeint.

Das Inverse von 3 Modulo 11 die 4,

weil 3*4 = 12 = 1 (mod 11 ) .

Also musst du am Ende nicht  1 / 3 mal C^T  sondern 4* C^T rechnen

also oben links etwa  4*4 = 16 = 5 (mod 11) etc.

So bekommst du das richtige Ergebnis .

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe, wenn ich das korrekt verstanden habe, wird also die modulare Inverse der Determinante A berechnet, was beispielsweise mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus vollzogen werden kann. Darauf wäre ich jetzt niemals gekommen und hätte wohl Ewigkeiten mit rumprobieren verschwendet, nochmals danke und noch einen schönen Sonntag.