Zeigen Sie, dass \gamma regulär ist und parametrisieren Sie die Kurve nach der Bogenlänge.

Question

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Aufgabe 13.3. [Reguläre Kurven] Gegeben sei die Kurve \( \Gamma \), parametrisiert durch
\( \gamma:[0,10 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \gamma(t)=(\exp (t) \cos (t), \exp (t) \sin (t), \exp (t)) \)
Zeigen Sie, dass \( \gamma \) regulär ist und parametrisieren Sie die Kurve nach der Bogenlänge. Geben sie dabei die Bogenlänge konkret an.
Hinweis: Bestimmen Sie also eine Parametrisierung \( \tilde{\gamma}:\left[0, l_{\Gamma}\right] \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) von \( \Gamma \) mit \( |\dot{\tilde{\gamma}}(t)|=1 \) für alle \( t \in\left[0, l_{\Gamma}\right] \). Dabei beschreibt \( l_{\Gamma} \) die Bogenlänge von \( \Gamma \).

Comments

Na hör mal. Ich hoffe doch dass Sie die Antworten hierauf nicht einfach nur lax übernehmen. Sollten Sie noch öfter fragen stelle müsste ich mir noch unfairere Übungsaufgaben zusammenkleistern für HöMa III

Answer 1

Hallo

Was ist die Frage?

die Kurvenlange berechnest du mit \( \int\limits_{0}^{t}|\gamma'|dt \)

sonst stelle konkrete Fragen.

lul

Answer 2

Aloha :)

Wir untersuchen die gegebene Kurve \(\Gamma\)$$\Gamma\colon[0;10\pi]\to\mathbb R^3\,,\,\vec r(t)=e^t\cdot\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\1\end{pmatrix}$$Mit der Produktregel finden wir:$$\vec r\,'(t)=e^t\cdot\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\1\end{pmatrix}+e^t\cdot\begin{pmatrix}-\sin t\\\cos t\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^t(\cos t-\sin t)\\e^t(\cos t+\sin t)\\e^t\end{pmatrix}$$Da die \(e^t\)-Funktion immer postiv ist, gilt \(z'(t)=e^t>0\) für alle \(t\in\mathbb R\). Daher wird die Ableitung \(\vec r\,'(t)\) nie \(\vec 0\), sodass die Kurve regulär ist.

Zur Parametrisierung von \(\gamma\) nach der Bogenlänge \(s\) anstatt nach dem Parameter \(t\), überlegen wir uns, dass für hinreichend kleine \(\Delta s\) gilt: \(\|\vec r(s+\Delta s)-\vec r(s)\|\approx\Delta s\). Im Grenzübergang \(\Delta s\to0\) wird diese Näherung exakt:$$\left\|\frac{d\vec r(s)}{ds}\right\|=\left\|\lim\limits_{\Delta s\to0}\frac{\vec r(s+\Delta s)-\vec r(s)}{\Delta s}\right\|=1$$Der Tangentenvektor \(\vec r\,'(s)\) ist also eine EInheitsvektor, wenn die Kurve \(\Gamma\) nach ihrer eigenen Bogenlänge \(s\) parametrisiert wurde.

Die Bogenlänge \(s(t)\) erhalten wir nun mit Hilfe der Kettenregel:$$1=\left\|\frac{d\vec r(t(s))}{ds}\right\|=\left\|\frac{d\vec r(t)}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}\right\|=\left\|\frac{d\vec r(t)}{dt}\right\|\cdot\left|\frac{dt}{ds}\right|\implies\frac{ds}{dt}=\left\|\frac{d\vec r(t)}{dt}\right\|\implies$$$$s(t)=\int\left\|\frac{d\vec r(t)}{dt}\right\|\,dt=\int\sqrt{e^{2t}(\cos t-\sin t)^2+e^{2t}(\cos t+\sin t)^2+e^{2t}}\,dt$$$$\phantom{s(t)}=\int\sqrt{3e^{2t}}\,dt=\int\sqrt{3}e^t\,dt=\sqrt3\,e^t+\text{const}$$Die Integrationskonstante ist so zu wählen, dass \(s(t=0)=0\) gilt:$$\pink{s(t)=\sqrt3\left(e^t-1\right)}$$

Umstellen nach \(\pink{t=\ln\left(1+\frac{s}{\sqrt3}\right)}\) liefert die gesuchte Parametrisierung:$$\Gamma\colon\left[0;\sqrt{3}(e^{10\pi}-1)\right]\to\mathbb R^3\,,\,\vec r(s)=\left(1+\frac{s}{\sqrt3}\right)\begin{pmatrix}\cos\ln\left(1+\frac{s}{\sqrt3}\right)\\\sin\ln\left(1+\frac{s}{\sqrt3}\right)\\1\end{pmatrix}$$