Sei X eine N wertige Zufallsvariable

Question

Aufgabe

Sei \( X \) eine \( \mathbb{N} \cup\{0\} \)-wertige Zufallsvariable mit existierendem zweiten Moment \( E X^{2} \). Rechnen Sie nach, dass dann gilt: \( E X^{2}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}(2 k-1) P(X \geq k) \).

Problem/Ansatz:

… Verstehe nicht wie das berechnet wird. Kann das jemand erklären?

Answer 1

\(\begin{aligned} \sum_{ k = 1}^{ \infty } k\mathbf{P}\left[ X\geqslant k\right] &= \sum_{ k = 1}^{ \infty }k \sum_{ j = k}^{ \infty }  \mathbf{P}\left[ X = j\right] \\ &= \sum_{ j = 1}^{\infty} \mathbf{P}\left[ X = j\right] \sum_{ k = 1}^{ j} k \\ &= \sum_{ j = 1}^{\infty} \frac{ j ( j + 1)  }{ 2} \mathbf{P}\left[ X = j\right] = \frac{1}{ 2} \mathbf{E}\left[ X^{ 2}\right] + \frac{1}{ 2} \mathbf{E}\left[ X\right] .\end{aligned}\)

Jetzt die Gleichung nach \(\mathbf{E}[X^2]\) lösen ...