Aloha :)
Damit die Funktion \(g(x;y)\) ein Potential hat, muss ihre Rotation verschwinden. Zur Berechnung der Rotation machen wir eine Funktion im \(\mathbb R^3\) daraus, indem wir die \(z\)-Komponente auf Null setzen. Wir betrachten also die Hilfsfunktion:$$h(x;y)=\begin{pmatrix}e^x\cos y\\e^x\sin y\\0\end{pmatrix}$$
Ihre Rotation ist$$\operatorname{rot} \vec h(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}e^x\cos y\\e^x\sin y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\e^x\sin y-e^x(-\sin y)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2e^x\sin y\end{pmatrix}\ne0$$
Da die Rotation nicht verschwindet, ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt, sodass \(\vec h(x;y)\) bzw. \(\vec g(x;y)\) kein Potential besitzt.
