Wie beweist man , wenn u3,u4 zwei Potentiale des Vektorfeldes v sind, dass u5 auch eines ist?

Question

Aufgabe:

1.Frage: Sind u3,u4:R3→R zwei Potentiale des Vektorfeldes v3 :R3→R3, so ist auch

u5=(u3+u4)/2 ein Potential von v3. ( Die Aussage ist wahr, aber mir fällt kein Beispiel ein um es zu beweisen)

2.Frage: Sind w4,  w5:R3→R3 Vektorpotentiale von v4,v5:R3→R3,

so ist w6= w4− w5 ein Vektorpotential von v6= v4− v5.( Diese Aussage ist auch wahr, hier fällt mir aber auch kein Beispiel ein um es zu beweisen)

Problem/Ansatz:

Hi,

also ich weiß, dass beide Aussagen wahr sind, nur wie beweist man das.

Hat jemand eine Lösung?

Danke

Answer 1

Aloha :)

\(u_3\) ist ein Potential von \(\vec v_3\), also ist: \(\int\limits_{\vec a}^{\vec b}\vec v_3\,d\vec r=u_3(\vec b)-u_3(\vec a)\).

\(u_4\) ist ein Potential von \(\vec v_3\), also ist: \(\int\limits_{\vec a}^{\vec b}\vec v_3\,d\vec r=u_4(\vec b)-u_4(\vec a)\).

Damit gilt auch:

$$\int\limits_{\vec a}^{\vec b}\vec v_3\,d\vec r=\frac{1}{2}\left(u_3(\vec b)-u_3(\vec a)+u_4(\vec b)-u_4(\vec a)\right)=\frac{u_3(\vec b)+u_4(\vec b)}{2}-\frac{u_3(\vec a)+u_4(\vec a)}{2}$$Also ist auch \(u_5:=\frac{u_3+u_4}{2}\) ein Potential von \(\vec v_3\).