Sind Teilmengen U1 bis U5 Untervektorräume von V?

Question

Servus!

Hab hier mal wieder eine Aufgabe, die mich heftig ins Grübeln bringt:

Sei V = F(R, R) der R-Vektorraum aller Abbildungen von R nach R. Welche der folgenden Teilmengen sind Untervektorräume von V? (begründen Sie Ihre Aussage)

(a) U1 = {f ∈ V | f(1) = f(2)}
(b) U2 = {f ∈ V | f(3) = 1}
(c) U3 = {f ∈ V | ∀r ∈ R: f(r) 6= 0}
(d) U4 = {f ∈ V | ∀r ∈ R: |f(r)| ≤ 1}
(e) U5 = {f ∈ V | ∃B ∈ R ∀r ∈ R: |f(r)| ≤ B}

Problem/Ansatz:

Ich kenne die Voraussetzungen für Untervektorräume aber hab leider keine Ahnung, wie ich zeigen soll, dass oder ob diese für a-e gelten. Wo kommt 0 in U1, U2, ..., U5 vor? Wie zeige ich konkret hier, dass der UVR abgeschlossen ist und, dass die Skalarmultiplikation gilt?

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

a) f(1)=f(2) dasselbe für g dann gilt auch f(2)+g(2)=f(1)+g(1) und r*f(1)=r*f(2) also echter U

b) dieselbe Rechnung folgt kein U

c nicht lesbar,

d) wieder dieselbe Rechnung zeigt schon a>1  a(f(r))>1 kein U

e) wieder einfach nachrechnen,  summe beschränkter Funktionen ist beschränkt. ja U