Aufgabe:
Sei \( f=f(x) \in C([0, b]) \).
Für \( \alpha>0 \) sei das folgende Anfangswertproblem gegeben
\( \left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}(x)+\frac{\alpha}{x} y^{\prime}(x) & =f(x) \text { in }(0, b] \\ y(0) & =y_{0} . \end{aligned}\right. \)
Zeige:
(1) Sei \( y \in C([0, b]) \cap C^{2}((0, b]), y^{\prime} \) beschränkt und löse oberes AWP.
So gilt:
\( y \in C^{2}([0, b]), y^{\prime}(0)=0, \lim \limits_{x \searrow 0} \frac{y^{\prime}(x)}{x}=y^{\prime \prime}(0)=\frac{f(0)}{\alpha+1} \)
und
\( y(x)=y_{0}+\int \limits_{0}^{x} s^{-\alpha} \int \limits_{0}^{s} t^{\alpha} f(t) \mathrm{d} t \mathrm{~d} s \)
(2) Sei
\( y(x):=y_{0}+\int \limits_{0}^{x} s^{-\alpha} \int \limits_{0}^{s} t^{\alpha} f(t) \mathrm{d} t \mathrm{~d} s, \)
dann löst \( y \) das oben gegebene Anfangswertproblem und es gilt:
\( y \in C^{2}([0, b]), y^{\prime}(0)=0, \lim \limits_{x \searrow 0} \frac{y^{\prime}(x)}{x}=y^{\prime \prime}(0)=\frac{f(0)}{\alpha+1} . \)
