Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?

Question

Aufgabe:

Die Punkte A (1|1|-2), B (3|0|0), C (-2|3|-3) und D (0|3|3) liegen in der Ebene E: 3x1 + 4x2 - x3 =9. Bestimmen Sie unter den Punkten A, B, C und D denjenigen Punkt, der vom Punkt P (1|7|-4) die kleinste Entfernung hat

-> Hier habe ich den Punkt C mit \( \sqrt{26} \) als kleinste Entfernung

nur bei b) komme ich nicht weiter:

b) Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?

-> Wie findet man das heraus?

Answer 1

Hallo,

b) Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?
-> Wie findet man das heraus?

Um diese Frage zu beantworten, ist es nicht nötig den Punkt in \(E\) zu finden, der den kleinsten Abstand zu \(P\) hat. Man muss die Frage ja nur mit Ja oder Nein beantworten, und dies begründen.

Es reicht aus, den Vektor \(\overrightarrow{CP}\) zu berechnen:$$\overrightarrow{CP} = \begin{pmatrix}1\\ 7\\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\ 3\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 4\\ -1\end{pmatrix}$$wenn dieser eine Linearkombination zum Normalenvektor \(\vec{n}\) von \(E\) ist, dann steht \(\overrightarrow{CP}\) senkrecht auf \(E\) und \(C\) ist der am nächst liegende Punkt. Es ist:$$E: \quad 3x_1 + 4x_2 - x_3 =9 \implies \begin{pmatrix}3\\ 4\\ -1\end{pmatrix}\vec{x} = 9$$Die Vektoren \(\vec{n}\) und \(\overrightarrow{CP}\) sind sogar identisch, also ist \(C\) der \(P\) am nächsten liegende Punkt.

(klick auf das Bild)

\(\overrightarrow{CP}\) steht senkrecht auf \(E\).

Gruß Werner

Answer 2

Gibt es einen Punkt auf E, dessen Abstand von P noch kleiner ist?

Nein.

Comments

Ich verstehe den Rechenweg nicht ganz, woran siehst du das jetzt?...

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Ausgerechnet werden bei meinem Lösungsweg die Koordinaten desjenigen Punktes in der Ebene, der den minimalen Abstand zu P hat.

Es sind die Koordinaten von C.

Also gibt es keinen anderen Punkt in E, der noch näher an P ist.