Wie verwendet man die Methode der kleinsten Quadrate?

Question

Aufgabe:

Gegeben Hooksches Gesetz:

s=L+D*F

k	1	2	3	4	5
Fk ,[N]	10	20	30	40	50
sK ,[cm]	39,6	44,6	49,4	54,5	59,7

Berechnen Sie nach der Methode der kleinsten Quadrate eine Schätzung für die unbelastete Länge L der Feder und für die Federkonstante D.

Problem/Ansatz:

Ich habe heraus, dass die unbelastete Länge der Feder L  0,375 Meter beträgt und die Federkonstante D 0,00401 N ist

Ist das richtig?

Comments

Man sieht sofort, dass die Zunahme ca. 5cm pro 10 N beträgt.

Answer 1

Hallo,

Ich habe heraus, dass die unbelastete Länge der Feder L 0,375 Meter beträgt und die Federkonstante D 0,00401 N ist
Ist das richtig?

Ich unterstelle Du meinst \(D= 0,00401 \frac{\text{m}}{\text{N}}\). Aber auch dann liegt dein Ergebnis daneben, wie der Graph zeigt:

https://www.desmos.com/calculator/fw747yopxh

Die schwarzen Punkte sind die Werte aus der Tabelle. Die rote Gerade zeigt Dein Ergebnis und die blaue das Ergebnis, wenn man es mit der Methode der kleinsten Quadrate rechnet.

Die üblichen Formeln sollten bekannt sein; hast Du es danach berchnet?

Gruß Werner

Comments

.. aus dem Verlauf schließe ich, dass Du Dich nur bei der Steigung verrechnet hast. Da die Steigung später auch in das Ergebnis für \(L\) eingeht, ist auch dieser Wert verkehrt.

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Gegeben Hooksches Gesetz:
s=L+D*F

so wie es da steht, ist das falsch. Das Hooksche Gesetz besagt, dass bei einer elastischen Feder die Kraft proportional zur Änderung der Länge ist - also$$F = D \cdot \Delta l$$wobei \(D\) die Federkonstante ist.

Bzw. wenn man davon ausgeht, dass die Feeder im unbelasteten Zustand eine Länge von \(L\) hat, dann gilt für die Gesamtlänge \(s\)$$F = D(s- L)  \\ \implies s = L + \frac{1}{D} F$$D.h. Dein \(D\) ist die reziproke Federkonstante.

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Ich weiß gerade nicht wo es drückt also hier:

Ich habe es mit linearer regression gemacht. Hierbei betrachten wir die gegebenen Wertepaare (Fk, sk) als Datenpunkte, wobei Fk die angewendete Kraft und sk die entsprechende Gesamtlänge der Feder sind.

Zuerst hab ich das Hooksche Gesetz umgestellt:

sk=L+D*Fk

Die Gleichung kann als y=a+b*x geschrieben werden.

y=sk,a=L, x=Fk und b = D

b= \( \sum\limits_{}^{}{(x-x̄)*(y-ȳ)} \)   /  \( \sum\limits_{}^{}{(x-x̄)^2} \)

a= = ȳ-b *x̄

Hierbei steht Σ für die Summe über alle Werte, x̄ für den Durchschnitt der x-Werte, ȳ für den Durchschnitt der y-Werte und (x, y) sind die Wertepaare (Fk, sk).

x̄ = (10 + 20 + 30 + 40 + 50) / 5 = 30

ȳ = (39.6 + 44.6 + 49.4 + 54.5 + 59.7) / 5 = 49.56

b = ((10 - 30) * (39.6 - 49.56) + (20 - 30) * (44.6 - 49.56) + (30 - 30) * (49.4 - 49.56) + (40 - 30) * (54.5 - 49.56) + (50 - 30) * (59.7 - 49.56)) / ((10 - 30)^2 + (20 - 30)^2 + (30 - 30)^2 + (40 - 30)^2 + (50 - 30)^2)

b ≈ 0.24

a = 49.56 - 0.24 · 30 = 42.36

L ≈ 42.36 cm
D ≈ 0.24 cm/N

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x̄ = (10 + 20 + 30 + 40 + 50) / 5 = 30
ȳ = (39.6 + 44.6 + 49.4 + 54.5 + 59.7) / 5 = 49.56

das ist korrekt.

b = ((10 - 30) * (39.6 - 49.56) + (20 - 30) * (44.6 - 49.56) + (30 - 30) * (49.4 - 49.56) + (40 - 30) * (54.5 - 49.56) + (50 - 30) * (59.7 - 49.56)) / ((10 - 30)2 + (20 - 30)2 + (30 - 30)2 + (40 - 30)2 + (50 - 30)2)
b ≈ 0.24

das ist falsch. Hier ist \(b=0,501\) und daraus folgt dann \(a\) mit $$a = 49,56 -0,501 \cdot 30 = 34,53$$und das sind die Werte für den blauen Graphen in meiner Antwort.

Hinweis: kannst Du ein Tabellenkalkulationsprogramm verwenden?

Zuerst hab ich das Hooksche Gesetz umgestellt:
s_k=L+D*F_k

Besser:$$s_k \approx L + \frac{1}{D}F_{k}$$(s. mein vorheriger Kommentar)

Answer 2

Ist das richtig?

Mit Sicherheit nicht.

Was bewirkt eine Steigerung der Kraft um 10 N?

Sie bewirkt eine Längenänderung von

5cm

4,8cm

5,1 cm

5,2 cm.

Die Längenänderung ist jeweils ca. 5 cm pro eingesetzten 10 N.

Man braucht also 10 N für 0,05m Längenänderung und somit 200 N pro 1 m Änderung. Die Federkonstante sollte also ca. bei 200N/m liegen.

Nun zur Anfangslänge: Wenn man statt 10N eine Kraft von 0N einsetzt, sollte die Feder jetzt um 5 cm kürzer werden und eine Anfangslänge von ca. 34,6 cm besitzen.

Die Methode der kleinsten Quadrate habe ich hier noch gar nicht anwenden müssen. Ich habe nur mit einfachen Überlegungen erklärt, warum deine beiden Ergebnisse deutlich falsch sind.

Answer 3

Aloha :)

Zur Bestimmung der optimalen Näherungsgeraden$$y=m\cdot x+b$$für eine Punktwolke \((x_k|y_k)\) aus \(n\) Punkten gehst du wie folgt vor.

Du berechnest den Mittelwert \(\overline x\) der \(x\)-Werte und den Mittelwert \(\overline y\) der \(y\)-Werte.$$\overline x=\sum\limits_{k=1}^n x_i\quad;\quad \overline y=\sum\limits_{k=1}^n y_i$$ Damit erhältst du den Schwerpunkt \((\overline x|\overline y)\) der Verteilung. Dieser Schwerpunkt liegt auf der Näherungsgeraden. Es gilt also die Gleichung:$$\pink{\overline y=m\cdot \overline x+b}$$

Durch diesen Schwerpunkt wird die Näherungsgerade gelegt. Ziel ist es dabei, die Summe der quadratischen Abstände der gemessenen \(y_i\)-Werte zu den berechneten \(y\)-Wert zu minimieren:$$\sum\limits_{k=1}^n\left(y_i-y(x_i)\right)^2=\sum\limits_{k=1}^n\left(y_i-(m\cdot x_i+b)\right)^2\to\text{Min!}$$Dieses Minimierungsproblem wird gelöst durch:$$\pink{m=\frac{\sum\limits_{k=1}^n(x_i-\overline x)(y_i-\overline y)}{\sum\limits_{k=1}^n(x_i-\overline x)^2}}$$

Mit Hilfe der zweiten pinken Formel bestimmst du die Steigung \(\pink m\) der Geraden, mit Hilfe der ersten pinken Gleichung erhältst du dann den Achsenabschnitt \(\pink b\) der Geraden.