Extrema ohne Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den maximalen und den minimalen Abstand zum Koordinatenursprung für f(x,y)=3x² + 2xy + 3y² - 16

mit Hilfe der Hauptachsentransformation.  

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Es soll nicht mit der Lagrangeschen Multiplikationsregel gerechnet werden.

Comments

Wer oder was soll minimalen / maximalen Abstand

vom Ursprung haben?

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Du suchst wahrscheinlich das Maximum bei 16 und die beiden Minimümmer in der Nähe von 2.

Falls Du das beantwortet haben möchtest, was in der Aufgabe steht. DIe von Dir als beste Antwort angeklickte Antwort rechnet allerdings etwas anderes aus.

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Suche mal im Netz Hauptachsentransformation.

Answer 1

Wie gehe ich hier vor

Der Witz ist, dass das Vorgehen direkt in der Aufgabe vorgegeben worden ist.

Du sollst eine Hauptachsentransformation vornehmen, sodass du den maximalen und minimalen Abstand direkt ablesen kannst.

Comments

Ja das mit der hautachsentransformation habe ich mir auch schon so gedacht aber wie macht man diese

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Schau dir dazu am besten ein Youtubevideo an oder schau lies es mal nach unter

https://www.mathebibel.de/hauptachsentransformation

Rechne am besten auch ein paar Musterbeispiele nach.

Wenn du dazu noch gezielte Fragen hast, melde dich gerne wieder.

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habe jetzt für die hauptachsentransformation

q(y)=y * \( \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) *y -16

und die Vektoren \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) * \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)

und \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) * \( \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \)

aber wie komme ich jetzt auf die punkte

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Das ist richtig. Du hast also mit der Hauptachsentransformation

[x, y]·[4, 0; 0, 2]·[x; y] + [0, 0]·1/√2·[1, -1; 1, 1]·[x; y] - 16 = 0

oder simpel ausmultipliziert

4·x^2 + 2·y^2 - 16 = 0

Bring das jetzt in die typische Form einer Ellipsengleichung

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

x^2/2^2 + y^2/√8^2 = 1

Und du kannst hier 2 und √8 als kleinste und größte Entfernung vom Ursprung ablesen.

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Wie kommen die 2 und die \( \sqrt{8} \) zustande. Und ist due elipsengleichung allgemein für jede Ellipse

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Einfach deine Gleichung umformen

4·x^2 + 2·y^2 - 16 = 0
4·x^2 + 2·y^2 = 16
x^2/4 + y^2/8 = 1
x^2/2^2 + y^2/√8^2 = 1

Und ist die Elipsengleichung allgemein für jede Ellipse.

Ja. Für jede Ellipse kann ein passendes Koordinatensystem gewählt werden, sodass dies die Gleichung der Ellipse ist.

Liegt die Parabel nicht geeignet im Koordinatensystem, kann eine Verschiebung oder Drehung notwendig sein. So wie zu Anfang bei der gegebenen Parabel, die wir ja nur drehen brauchten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse

Answer 2

Ohne Hauptachsentranformation:

Da in der Gleichung x und y vertauschbar sind, ohne dass sich der Term dabei ändert, gäbe es zu jedem Punkt (x,y) mit extremen Abstand zusätzlich noch den Punkt (y,x) mit gleichem Abstand zum Ursprung.

Da ist es SEHR naheliegend, dass entweder y=x oder y=-x gelten muss. Dann gilt entweder 8x²=16 oder 4x²=16.

Tatsächlich findet man bei x=±√2 bzw. bei x=±2 die Punkte mit dem geringsten/mit dem größten Abstand zum Ursprung.