Aufgabe 1)
Sei \( A \in \mathbb{R}^{100,100} \) eine Matrix, deren sämtliche Einträge 7 sind, d.h. \( A=[v, v, \ldots, v] \), wobei \( v=(7,7, \ldots, 7)^{\top} \in \mathbb{R}^{100} \). Geben Sie den Singulärwert \( \sigma \) von \( A \) an.
\( \sigma= \)
Aufgabe 2)
Sei \( A \in \mathbb{C}^{m, n} \). Kreuzen Sie alle wahren Aussagen an.
a. Die Quadrate der Singulärwerte von \( A \) sind Eigenwerte von \( A \)
b. Die Quadrate der Eigenwerte von \( A \) sind Singulärwerte von \( A A^{H} \)
c. Die Quadrate der Eigenwerte von \( A \) sind Singulärwerte von \( A \)
d. Die Quadrate der Singulärwerte von \( A \) sind Eigenwerte von \( A A^{H} \)
Ansatz:
Aufgabe1)
\( \sigma=700 \)
Aufgabe 2)
a. Falsch. Die Quadrate der Singulärwerte von \( A \) sind Eigenwerte von \( A^{*} A \) oder \( A A^{*} \), nicht von \( A \) selbst.
b. Wahr. Die Quadrate der Eigenwerte von \( A \) sind tatsächlich die Singulärwerte von \( A A^{H} \), da \( A A^{H} \) eine Hermitesche Matrix ist und ihre Eigenwerte den Quadraten der Singulärwerte von \( A \) entsprechen.
c. Falsch. Die Quadrate der Eigenwerte von \( A \) sind nicht unbedingt die Singulärwerte von \( A \). Die Singulärwerte von \( A \) sind die Quadratwurzeln der Eigenwerte von \( A^{*} A \) oder \( A A^{*} \), nicht von \( A \) selbst.
d. Wahr. Die Quadrate der Singulärwerte von \( A \) sind die Eigenwerte von \( A A^{H} \), da \( A A^{H} \) eine Hermitesche Matrix ist und ihre Eigenwerte den Quadraten der Singulärwerte von \( A \) entsprechen.
