Hallo,
ich orientiere mich bei den Ausführungen an dem Skript hier.(insbesondere Definition über Kurvenintegrale über 1-Formen auf S.41 und Beweis von Satz 5.6)
Sei \(x_0 = 0_{\mathbb{R}^3}\) und setze für \(x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\)
\( \Phi(x) = \int_{\gamma_x}\omega = \int_0^1\omega(\gamma_x(t),\gamma_x^\prime(t))\,dt \)
mit \(\gamma_x(t) = tx, t\in[0,1]\) (Verbindungsstrecke von \(x_0\) nach \(x\)). \(\Rightarrow \gamma_x^\prime(t) = x\)
Dann rechnen wir nach
\( \Phi(x) = \int_0^1\omega(\gamma_x(t),\gamma_x^\prime(t))\,dt = \int_0^1\omega(tx,x)\,dt =\int_0^1\langle v(tx),x\rangle\,dt \)
\( = \int_0^1\langle\begin{pmatrix} (tx_3)^2-tx_2\sin(tx_1)\\ \cos(tx_1)-2tx_3 \\2tx_1tx_3-2tx_2+tx_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\rangle\,dt \overbrace{=}^{\text{nachrechnen}} x_1x_3^2+\frac12x_3^2-2x_2x_3+x_2\cos(x_1)\)
Dies ist tatsächlich eine Stammfunktion der 1-Form \(\omega\), wie man leicht überprüft (das ist Inhalt von Satz 5.6).
z.B. ist \( \frac{\partial\Phi}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3) = x_3^2-x_2\sin(x_1) = \omega_1(x_1,x_2,x_3) \)
