0 Daumen
209 Aufrufe

Gradientenfelder:


Überprüfe, ob die folgenden Vektorfelder Gradientenfelder (Potenzialfelder) sind und berechnen Sie ggf. eine Stammfunktion.


a) \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \\ -3\cos(3y) \cos(2x) \end{pmatrix}\)
b) \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3x^2 y + 8x y^2 \\ x^3 + 8x^2 y + 12y e^y \end{pmatrix}\)

Ich habe aus der Vorlesung nicht wirklich verstehen können wie man aus Vektofeldelder Gradienfelder bestimmt. Kann wer helfen?
Avatar von

Unter dem Begriff Integrabilitätsbedingung solltest du fündig werden. Gibt unzählige Materialien dazu im Internet.

Also müsste es ungefähr so sein?


Für \( v_1 = 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \):

\(\frac{\partial f}{\partial x} = 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x)\)

\(f(x, y) = \int 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \, dx\)


Berechnen Stammfunktion:

\(f(x, y) = \int 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \, dx\)


Benutzen wir partielle Integration:

\(\int 4\sin(x) \sin(3y) \cos(x) \, dx = 4\sin(3y) \int \sin(x) \cos(x) \, dx\)


\(\int \sin(x) \cos(x) \, dx = \frac{\sin^2(x)}{2} + C\)


Daher ist die Stammfunktion:

\(f(x, y) = 2\sin(3y) \sin^2(x) + g(y)\)


Für \( v_2 = -3\cos(3y) \cos(2x) \):

\(\frac{\partial f}{\partial y} = -3\cos(3y) \cos(2x)\)


=> \(f(x, y) = 2\sin(3y) \sin^2(x) + C\)

Probe nicht vergessen.

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

$$\vec v=\left(\begin{array}{c}4\sin(x)\sin(3y)\cos(x)\\[1ex]-3\cos(3y)\cos(2x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\sin(2x)\sin(3y)\\[1ex]-3\cos(2x)\cos(3y)\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec v}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\left(-\cos(2x)\sin(3y)\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(-\cos(2x)\sin(3y)\right)\end{array}\right)=\operatorname{grad}\left(-\cos(2x)\sin(3y)\right)$$


$$\vec v=\left(\begin{array}{c}3x^2y+8xy^2\\[1ex]x^3+8x^2y+12ye^y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\left(x^3y+4x^2y^2\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)e^y\right)\end{array}\right)$$$$\phantom{\vec v}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\left(x^3y+4x^2y^2\pink{+12(y-1)e^y}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)e^y\right)\end{array}\right)=\operatorname{grad}\left(x^3y+4x^2y^2+12(y-1)e^y\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community