Für welche Funktionen ist das Vektorfeld (x, y, f(x,y,z)) ein Gradientenfeld?

Question

Aufgabe:

Für welche Funktionen f∈C¹ (ℝ³) ist das Vektorfeld v:ℝ³→ℝ³ , v(x,y,z)=(x, y, f(x,y,z)) ein Gradientenfeld?

Problem/Ansatz:

Normalerweise bekommt man ja in so einem Fall die Lösung, indem man integriert.

Auf diese Art bin ich jetzt auf f(x,y,z)=\( \frac{1}{2} \) x² + \( \frac{1}{2} \) y² + \( \int\limits_{}^{} \) f(x,y,z)dz + C

gekommen. Doch das erscheint mir seltsam, da das Integral der Funktion selber Teil der Funktion wäre. Stimmt das so?

Und falls nein, wie geht es richtig?

Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.

Answer 1

wenn die Rotation des Feldes =0 ist, dann existiert ein Potential. Die Rotation kann man hier einfach berechnen:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=curl+(x,y,f(x,y,z))

Also müssen die Partiellen Ableitungen von f nach x und y verschwinden.

f(x,y,z)=f(z)