Ebenes Feld als Gradientenfeld skalarer Funktion

Question

Hoi

Ich habe die Funktion f(x,y)=x. Geplottet ist das ja eine Ebene.

Jetzt muss ich zeigen, dass das ebene Feld F: R² -> R² mit F(x,y)= (-2x   cos(y)) das Gradientenfeld einer skalaren Funktion f:R² -> R ist.

Kann man solche Aufgaben nicht sonst nur im R³ lösen? Ich bin mir nicht sicher, wie ich hier vorgehen soll.

Answer 1

Aloha :)

Um zu zeigen, dass ein Feld ein Gradientenfeld einer skalaren Funktion ist, musst du nur zeigen, dass die gemischten partiellen Ableitungen paarweise gleich sind:$$\frac{\partial F_1}{\partial x_2}\stackrel{?}{=}\frac{\partial F_2}{\partial x_1}\quad\text{bzw.}\quad\frac{\partial F_x}{\partial y}\stackrel{?}{=}\frac{\partial F_y}{\partial x}$$Hier ist:$$\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0\quad;\quad\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\cos y)=0$$Beide sind gleich, also existiert ein passendes Skalarfeld.

Im 3-dimensionalen Raum kann man das schön prüfen, indem man die Rotation bildet. Wenn die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet, ist es ein Gradientenfeld.

Comments

Alles klar, danke dir. Wie immer sehr hilfreich ^^

LG Jelly