Normalvektor auf Niveaulinie in einem Punkt auf Skalarem Feld

Question

Aufgabe:

Gegeben ist ein skalares Feld $$V(x,y) = x^2 - y^2$$ Bestimmen Sie die Komponenten des Normalvektors auf die Niveaulinie im Punkt (x,y).

Problem/Ansatz:

Soweit ich das verstehe muss man hier den Gradienten bilden, also: $$\begin{pmatrix} 2x\\-2y \end{pmatrix}$$ Zudem den Normalvektor von (x,y) bestimmen: $$\begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{pmatrix}$$ Um dann daraus $$\nabla V(x,y) \frac{\vec{(x,y)}}{|(x,y)|}$$ zu berechnen. Allerdings verstehe ich nicht ganz was "...die Komponenten des Normalvektors auf die Niveaulinie im Punkt (x,y)." bedeuten soll. Kann mir hier jemand bitte weiterhelfen.

MfG

Answer 1

Hallo,

unter eine Niveaulinie zu V versteht man eine Kurve, die die Gleichung

$$V(x,y)=x^2-y^2=c$$

für eine reelle Konstante erfüllt. In diesem Fall sind das Hyperbeln , also zum Beispiel ein Zweig:

$$y=\sqrt{x^2-c} $$

mit geeignetem Definitionsbereich für x.

Der Gradient \(\nabla V(x,y)\) ist ein Vektor der senkrecht auf dieser Kurve (Niveaulinie) im Punkt (x,y) steht, genauer senkrecht auf der Tangente an die Kurve im Punkt (x,y). Diese Eigenschaft haben natürlich auch alle Vielfachen \(s \nabla V(x,y)\) mit reellem s. Oft bezeichnet man den auf die Länge 1 normierten Gradienten als "den" Normalenvektor, hier also (außerhalb des Nullpunkts)

$$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\begin{pmatrix} x \\ -y\end{pmatrix}$$

Gruß Mathhilf