$$ \text{Es seien } a, b, c, d \in \mathbb{R} $$
$$ \text{ mit } a < b \text{ und } c < d, t_0 \in (a,b), u_0 \in (c,d) \text{ sowie } P, Q \in C^1([a,b] \times [c,d]) $$
$$\text{ mit } \frac{\partial^2 P}{\partial u \partial t}(t,u) = \frac{\partial^2 Q}{\partial t \partial u}(t,u)$$
$$\text{ für alle } t \in [a,b] \text{ und } u \in [c,d] \text{ und } Q(t_0, u_0) \neq 0. $$
$$ \text{Zeigen Sie, dass es eine in einer Umgebung } U \text{ von } t_0 \text{ stetig differenzierbare Funktion } u \text{ gibt,sodass} $$
$$P(t, u(t)) dt + Q(t, u(t)) du = 0 \text{ für alle } t \in U \text{ mit } u(t_0) = u_0.$$
$$ \text{Dazu zeigen Sie, dass es eine Funktion } F \text{ gibt mit } \frac{\partial F}{\partial t} = P \text{ und } \frac{\partial F}{\partial u} = Q. $$
$$ \text{2.) Lösen Sie } F(t,u) = C \text{ nach } u \text{ auf.} $$
$$ \text{Es seien } a, b, c, d \in \mathbb{R} \text{ mit } a < b \text{ und } c < d, t_0 \in (a,b), u_0 \in (c,d) \text{ und } P, Q \in C^1 ([a,b] \times [c,d]) \text{ mit } $$
$$\frac{\partial^2 P}{\partial u \partial t}(t,u) = \frac{\partial^2 Q}{\partial t \partial u}(t,u) \text{ für alle } t \in [a,b] $$
$$\text{ und } u \in [c,d] \text{ sowie } Q(t_0, u_0) \neq 0.$$
$$ \text{Um dies zu zeigen, betrachten wir die Funktion } F(t,u) \text{ mit } $$
$$\frac{\partial F}{\partial t} = P \text{ und } \frac{\partial F}{\partial u} = Q. $$
$$ \text{Da } \frac{\partial^2 P}{\partial u \partial t} = \frac{\partial^2 Q}{\partial t \partial u} \text{ für alle } t \in [a,b] \text{ und } u \in [c,d] \text{ gegeben ist, existiert} F(t,u) \text{ mit den partiellen Ableitungen.} $$
$$ \text{Um die Lösung } u(t) \text{ zu finden, lösen wir die Gleichung } F(t,u) = C \text{ nach } u \text{ auf.} $$
$$ \text{Durch Integration der Gleichung } \frac{\partial F}{\partial t} = P \text{ nach } t \text{ erhalten wir } F(t,u) = \int P(t,u) dt + g(u), $$
$$ \text{wobei } g(u) \text{ eine Funktion ist, die nur von } u \text{ abhängt.} $$
$$ \text{Um } g(u) \text{ zu bestimmen, setzen wir } t = t_0 \text{ ein:} F(t_0,u) = \int P(t_0,u) dt + g(u) = g(u). $$
$$ \text{Daher erhalten wir } F(t,u) = \int P(t,u) dt + F(t_0,u). $$
$$ \text{Durch Ableiten der Gleichung } F(t,u) = C \text{ nach } u \text{ erhalten wir } \frac{\partial F}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u} \left(\int P(t,u) dt + F(t_0,u)\right) = Q(t,u). $$
$$ \text{Da wir } \frac{\partial F}{\partial t} = P \text{ und } \frac{\partial F}{\partial u} = Q \text{ haben, existiert eine Funktion } F(t,u) \text{ mit den gewünschten Eigenschaften.} $$
$$ \text{Die Lösung der Gleichung } F(t,u) = C \text{ nach } u $$
$$\text{ gibt uns die gesuchte Funktion } u(t). u(t) \text{ ist stetig diffbar in einer Umgebung} U $$
$$\text{ von } t_0 \text{ und erfüllt } P(t, u(t)) dt + Q(t, u(t)) du = 0 \text{ für alle } t \in U $$
$$\text{ und } u(t_0) = u_0. $$
