f(x):=a^2 x^3 + 2ax^2, a>0 hat Wendestelle bei x=2. a=?

Question

Gegeben sei f(x)=a²x³+2ax², a>0. Wie muss der Parameter a gewaehlt werden, damit die Funktion f einen Wendepunkt bei x=2 besitzt?

Answer 1

f(x) = a^2·x^3 + 2·a·x^2

f'(x) = 3·a^2·x^2 + 4·a·x

f''(x) = 6·a^2·x + 4·a = 0

f''(2) = 0
6·a^2·2 + 4·a = 0
12·a^2 + 4·a = 0
a = - 1/3

a sollte also -1/3 sein. Für a > 0 hat die Funktion bei x = 2 dann nie einen Wendepunkt.

Answer 2

Für eine Wendestelle bei x = 2 muss die zweite Ableitung an der Stelle x = 2 gleich Null sein, also:

f ( x ) = a ² x ³ + 2 a x ²

f ' ( x ) = 3 a ² x ² + 4 a x

f ' ' ( x ) = 6 a ² x + 4 a

 

f ' ' ( 2 ) = 12 a ² + 4 a = 0

<=> a ( 12 a + 4 ) = 0

<=> a = 0 oder 12 a = - 4

<=> a = 0 oder a = - 4 / 12 = - 1 / 3

Also: Es gibt keinen Wert a > 0 , für den f ( x ) eine Wendestelle bei x = 2 hat.

 

Hier der Graph von f ( x ) für a = - 1 / 3. Man erkennt die Wendestelle bei x = 2 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%2F3%29^2+x^3+%2B+2+*%28-1%2F3%29+x^2