Gibt es (x, y, z)^{\top} ∈ ℝ^{3} so, daß H_{f}(x, y, z) eine Diagonalmatrix ist?

Question

Aufgabe:

Ich habe die folgende Hessematrix ausgerechnet.

Gibt es \( (x, y, z)^{\top} \in \mathbb{R}^{3} \) so, daß \( H_{f}(x, y, z) \) eine Diagonalmatrix ist ?

\( H_{f}=\left(\begin{array}{ccc}4 \cosh (2 x+y z) & 2 z \cosh (2 x+y z) & 2 y \cosh (2 x+y z) \\ 2 z \cosh (2 x+y z) & z^{2} \cosh (2 x+y z) & \sinh (z y+2 x)+y z \cosh (z y+2 x) \\ 2 y \cosh (2 x+y z) & \sinh (z y+2 x)+y z \cosh (z y+2 x) & y^{2} \cosh (2 x+y z)\end{array}\right) \)

Wie geht man hier vor?

Answer 1

Aloha :)

Für jede positive Zahl \(a>0\) gilt:$$\left(\sqrt a-\frac{1}{\sqrt a}\right)^2\ge0\implies (\sqrt a)^2-2\sqrt a\frac{1}{\sqrt a}+\left(\frac{1}{\sqrt a}\right)^2\ge0\implies a+\frac1a\ge2$$Wegen \(e^x>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) heißt das für die die Cosinus-Hyperbolicus-Funktion:$$\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\frac{e^x+\frac{1}{e^x}}{2}\ge\frac22=1$$

Da die Matrix-Elementen \(h_{13}\) und \(h_{12}\) Null sein sollen, muss also \(\pink{y=0}\) und \(\pink{z=0}\) gelten.

Damit sieht die Matrix \(H_f\) dann so aus:$$H_f(x;0;0)=\left(\begin{array}{ccc}4\cosh(2x) & 0 & 0\\0 & 0 & \sinh(2x)\\0 & \sinh(2x) & 0\end{array}\right)$$

Damit \(H_f\) diagonal ist, muss also noch \(\sinh(2x)=0\) gelten.$$0=\sinh(2x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\implies e^x=e^{-x}\implies e^{2x}=1\implies 2x=0\implies\pink{x=0}$$

Für \((x;y;z)=(0;0;0)\) und nur für diesen Punkt, hat die Matrix \(H_f\) Diagonalgestalt:$$H_f(0;0;0)=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0& 0\end{array}\right)$$

Answer 2

Wie immer, stellt man die Bedingungen für das in Aufgabe genannte auf, das sind hier eine Reihe Gleichungen (es müssen ja jede Menge Elemente =0 sein). Dann sieht man schnell (Blick auf den Graphen von \(\cosh\) hilft), was y und z ist. Für x muss man dann etwas rechnen.

Comments

Okay, also setzt man die nicht-diagonalen Einträge gleich Null:

Die Gleichung \( 2 z \cosh (2 x+y z)=0 \) führt zur Lösung \( z=0 \).

Die Gleichung \( \sinh (z y+2 x)+y z \cosh (z y+2 x)=0 \) ist erfüllt, wenn \( z y+2 x=0 \) ist.

Da \( z=0 \) ist, reduziert sich die Gleichung auf \( 0 y+2 x=0 \), was bedeutet, dass für beliebige Werte von \( y \) und \( x=0 \) die Gleichung erfüllt ist.

Zusammengefasst, bedeutet es, dass die Hesse-Matrix \( H_{f} \) eine Diagonalmatrix ist, wenn \( z=0 \) und \( x=0 \) ist, während \( y \) beliebige Werte annehmen kann. Daher gibt es Punkte \( (x, y, z)^{\top} \) in \( \mathbb{R}^{3} \), für die \( H_{f}(x, y, z) \) eine Diagonalmatrix ist.

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Vorgehen im Prinzip richtig. Erster Schritt (x=0) auch. Aber warum nimmst Du im zweiten Schritt die komplizierteste Gleichung? Es gibt noch andere, einfache. Und wenn Du diese schon nimmst, kommst Du erstmal auf \(\sinh 2x =0\).

Es sind drei Elemente, die =0 sein müssen (wg Symmetrie). Schau das dritte, von Dir bisher ungenutzte, noch an.

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\(y\) kann nicht beliebige Werte annehmen (siehe mein Post).

\(y\) muss Null sein, damit die Komponente \(h_{13}\) verschwindet.

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Danke, @nudger, ich habe es jetzt korrigiert.

@Tschakabumba: Vielen Dank für deinen Post. (Hatte ich leider irgendwie nicht gesehen ^^)