Liegt hier ein Fehler vor (Limes superior und Limes inferior)

Question

Aufgabe: Zu zeigen ist die folgende logische Äquivalenz: Eine Folge a_n ist genau dann konvergent, wenn \( \lim\limits_{n\to\infty} \) inf a_n = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup a_n gilt.

Problem: Ich muss jetzt nur noch zeigen, dass aus der Konvergenz der Folge a_n \( \lim\limits_{n\to\infty} \) inf a_n = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup a_n folgt.

Im Internet begegnen mir Definitionen des Limes superior bzw. Limes inferior, die ich so noch nicht kenne. Laut meinen Skript ist der Limes superior definiert als \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup a_n := \( \lim\limits_{n\to\infty} \) x_n mit x_n := sup{a_j : j≥n} und der Limes inferior ist definiert als \( \lim\limits_{n\to\infty} \) inf a_n := \( \lim\limits_{n\to\infty} \) y_n mit y_n := inf{a_j : j≥n} für eine beliebige beschränkte Folge an.

Ich habe damit einen Beweis versucht, weiß aber nicht ob das so richtig ist. Ich gehe wie folgt vor:

Wenn a_n eine konvergente Folge ist, existiert ein a mit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) a_n = a und a_n ist beschränkt. Dann konvergieren auch der Limes superior sowie der Limes inferior und es gilt offensichtlich

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup a_n = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (sup{a_j : j≥n}) = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (sup{a}) = a

Für den Limes inferior erhält man dann analog auch a und es folgt die Gleichheit \( \lim\limits_{n\to\infty} \) sup a_n = \( \lim\limits_{n\to\infty} \) inf a_n.

Ich vermute aber, dass das falsch ist, weil ich diese Vorgehensweise sonst nirgendwo im Internet wiedergefunden habe. Wenn es falsch ist, könnte mir bitte jemand verraten wo der Fehler ist? Danke für alle Antworten im Voraus!

Comments

Es sieht so aus, als hättest Du

$$ \sup\{a_j\mid j\geq n\}=a$$

Gesetzt. Das ist i.allg. falsch.

Answer 1

Ja genau, die Gleichheit
\(\begin{aligned} \lim_{ n \to\infty} \sup_{ k\geqslant n} a_{ k} = \lim_{ n \to\infty} \sup_{ } a \end{aligned}\)
ist nicht richtig. Hier mal ein Beispielbeweis für den limes superior: Sei \( \varepsilon > 0\) beliebig und \( N\) so, dass für \( n\geqslant N \) gilt
\(\begin{aligned}   | a_{ n}  - a | < \varepsilon \implies a_{ n} < a + \varepsilon .\end{aligned}\)
Insebesondere gilt also
\(\begin{aligned} \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned}\)
womit wir
\(\begin{aligned} \lim_{N \to \infty } \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned}\)
erhalten.
Wegen \( \varepsilon > 0\) beliebig folgt also
\(\begin{aligned} \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \leqslant a .\end{aligned}\)

Die Ungleichung
\(\begin{aligned} a \leqslant \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \end{aligned}\)
folgt direkt aus \( a _{ j} \leqslant \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \).

Der Beweis für den Limes Inferior ist analog.

Comments

Danke für die Antwort.

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Hallo, doch noch mal kurz eine Nachfrage:

[...] womit wir
\(\begin{aligned} \lim_{N \to \infty }  \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned}\) erhalten.
Wegen \( \varepsilon > 0\) beliebig folgt also \(\begin{aligned} \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \leqslant a .\end{aligned}\)

Wie folgt aus \(\begin{aligned} \lim_{N \to \infty }  \sup_{ k\geqslant N} a_{ k} \leqslant a + \varepsilon \end{aligned}\) \(\begin{aligned} \lim_{j \to \infty } \sup_{ k\geqslant j} a_{ k} \leqslant a .\end{aligned}\), wenn Epsilon doch nicht Null sein kann?

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Das ist ein ziemlich wichtiger Fakt in der Analysis: Wenn für beliege \( \varepsilon > 0\) gilt, dass
\( x \leqslant a + \varepsilon \), dann muss auch \( x \leqslant a\) gelten. Wäre das nicht der Fall, so würde \( x > a\) gelten, und wählten wir dann
\( \varepsilon = ( x - a) / 2 \) so erhielten wir
\(\begin{aligned} x \leqslant a + \varepsilon = a + ( x - a) / 2 < x \end{aligned}\)
was ein Widerspruch ist, da \( x \neq a\).

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Ok, dankeschön, das wusste ich leider noch nicht.