Aufgabe zu Limes superior und Limes inferior

Question

Es sei \( \left(a_{n}\right) \subseteq(0, \infty) \) eine Folge, sodass \( \left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent ist mit Grenzwert \( a>0 \). Zeigen Sie, dass dann auch \( \left(\sqrt[n]{a_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergent ist mit Grenzwert \( a \).

Habe Probleme diese Aufgabe zu lösen. Ich verstehe einfach nicht wie ich dies vollständig beweisen soll. Ich bitte um Hilfe. Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

für n>m gilt:

$$a_{n}=\left(\prod_{i=m+1}^n \frac{a_i}{a_{i-1}}\right) \cdot a_m$$

Es gelte also

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} \to b>0$$

Wir wählen \(e>0\) und dazu \(m \in \mathbb{N}\) mit:

$$\forall i \geq m: \quad \frac{a_i}{a_{i-1}} \leq b+e$$

Aus der ersten Gleichung erhalten wir die Abschätzung für n>m:

$$a_n \leq (b+e)^{n-m}a_m \Rightarrow \sqrt[n]{a_n} \leq (b+e)\sqrt[n]{(b+e)^{-m}a_m}$$

Der zweite Faktor geht gegen 1, weil \(\sqrt[n]{x} \to 1\) für alle positiven x. Insgesamt also eine obere Abschätzung für \(\sqrt[n]{a_n}\), die gegen b+e konvergiert. Analog erhält man eine untere Abschätzung. Insgesamt also Konvergenz gegen b.

Gruß Mathhilf

Comments

Sehr elegant :-)

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Danke vielmals