Bestimmen Sie, falls möglich, für die nachstehenden Folgen den Limes superior, bzw. Limes inferior.

Question

 ∀n∈N cn := (1 + (−1)^n)(−1) ^[n*(n+1)]/2

ich habe versucht mit n=2k und 2k-1 die HP zu bestimmen. Mit n=2k-1 bekomme ich eine eindeutige Lösung aber für n=2k springt (−1) ^[n*(n+1)]/2 immer zwischen 1 und -1. Heißt das, dass es kein HP für n=2k existiert? also lim sup = lim inf = 0 für n=2k-1? 

MfG

Answer 1

Für alle ungeraden Zahlen ist der Wert der Folge \( 0 \). Bleiben also nur noch die geraden Zahlen.Für \( n = 4k \) ist der Folgenwert \( c_n = 2 \) und für \( n = 4k+2 \) ergibt sich \( c_n = -2 \). Damit hat man alle natürlichen Zahlen abgedeckt.

Die Häufungspunkte sind also \( -2 , \ 0 , \ 2 \).

Also \( \limsup c_n = 2 \) und \( \liminf c_n = -2 \)

Comments

Kann ich damit dann auch begründen, dass die Folge nicht konvergiert, weil 3 HP?

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Genau                      

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was passiert, wenn die Teilfolge denselben Grenzwert haben? gilt dann lim sup = lim inf = GW?

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Wenn alle möglichen Teilfolgen den gleichen Grenzwert haben, ist die Folge konvergent und es gilt \( \limsup = \liminf = \lim \)