Bestimme den Limes inferior und superior der Folgen (an)n, (an+1/an)n und (^n√(an))n

Question

Was muss man hier tuen um die Aufgabe zu lösen . Wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte

Comments

Schau dir die Häufungspunkte an. Betrachte dabei die Unterscheidung zwischen den Fällen, wenn \(n\) gerade oder ungerade ist.

Answer 1

Hi,
(a) es gilt
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}(1+(-1)^{n+1})+1}{2^{n}(1+(-1)^{n})+1} = \frac{(1+(-1)^{n+1})+\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2}(1+(-1)^{n})+\frac{1}{2^{n+1}}}  $$
Für \( n \) ungerade gilt,
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2+\frac{1}{2^{n+1}}}{\frac{1}{2^{n+1}}} = 2^{n+2}+1 \to \infty  $$
Für \( n \) = gerade gilt
$$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{1}{2^{n+1}}}{1+\frac{1}{2^{n+1}}} = \frac{1}{2^{n+1}+1} \to 0 $$

(b) Für gerade \( n \) gilt
$$ \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{2^{n+1}+1} \le 2^{1+\frac{1}{n}}+1 \le 3  $$ aber $$ a_2 = 3  $$ und für ungerade \( n \) gilt
$$ \sqrt[n]{a_n} = 1 $$